שינויים
/* תרגיל חשוב (חלק מ7.7) */
כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס
===תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה <math>V </math> מרחב וקטורי, ויהי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W \leq V</math> תת מרחבמאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>). ''' הוכח: <math>W=V</הפרך'''math> פתרון: אם dimV נבחר <math>B=dimW \{w_{1},\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W</math>. בפרט מתקיים שVכי# <math>span(B)=W בהכרח</math># <math>B</math> בת"ל. עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=פתרוןspan(B)=V</math> '''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים''' ====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת==== נתון שdimVש<math>\dim V=dimW\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים שנקבל סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.
===תרגיל 7.17===
