שינויים

נניח בשלילה שהתנאי התנאי הראשון אינו נכון: יהא <math>v\inspan\{v_1, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר ..,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=0</math>. מהגדרת החיתוך נובע כי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"לנובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש.

כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקייםהתנאי השני: <math>spanAspan\{v_1,...,v_j\}+spanBspan\{v_{j+1},...,v_n\}=span(A \cup {v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n }=span(B)=V</math>)