שינויים

==הגדרת צירוף לינאריצירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)==יהי '''הגדרה:''' יהיה <math>V מ"ו </math> מרחב וקטורי מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו . יהיו <math>v_1v_{1},...v_{2}\dots,v_nv_{n}\in V</math> וקטורים במרחב. '''צירוף לינארי''' של ו <math>v_1\alpha_{1},...\alpha_{2},v_n</math> הינו '''וקטור במרחב''' <math>v\dots,\alpha_{n}\in V\mathbb{F}</math> כך שקיימים סקלרים בשדה אזי ביטוי מהצורה <math>a_1,...,a_n\inalpha_{1}v_{1}+\mathbbalpha_{F2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}</math> המקיימים נקרא צירוף לינארי (צ"ל) של <math>v=a_1v_1+...+a_nv_nv_{1},v_{2}\dots,v_{n}\in V</math>.

==המרחב הנפרש (span)==בתנאי ההגדרה לעיל; '''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים לדוגמא: <math>v_1,...,v_nV=\mathbb{R}^{2}</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל הצירופים הלינאריים''' של הוקטורים הללו. כלומר, מעל <math>span\mathbb{v_1,...,v_n\F}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+anv_n=v\R}</math>.אזי

עד כה תארנו את הspan כקבוצה ואילו פנינו אליו בשם הגדרה: 'מרחב''המרחב הנפרש''' על ידי הוקטורים <math>v_1,. הסיבה היא שהspan ..,v_n</math> מוגדר להיות '''קבוצת (אוסף) כל ה[[צירוף לינארי|צירופים הלינאריים]]''' של הוקטורים הללו. כלומר, <math>span\{v_1,...,v_n\}=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | a_1,...,a_n\in\mathbb{F}\}=\{v\in V|\exists a_1,...,a_n\in\mathbb{F}:a_1v_1+...+a_nv_n=v\}</math>. באופן כללי: תהא <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה של מ"ו (ייתכן קבוצה אין סופית) אזי  <math>span(S)=\{ a_1v_1+...+a_nv_n | n\in \mathbb{N}, \, a_1,...,a_n\in\mathbb{F}, \, v_1,\dots,v_n\in S\}</math> באופן שקול <math>span(S)</math> הוא איחוד כל הצירופים הלינאריים של כל תתי הקבוצות הסופיות של <math>S</math>. הערה:<math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. לא רק שהמרחב הנפרש בנוסף הוא אכן מרחב, הוא המרחב התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש כלומר אם ת"מ <math>W\leq V</math> מקיים <math>S\subseteq W</math> אזי <math>span(S)\subseteq W</math> הוכחהאם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל. '''הערה:''' אם <math>S=\emptyset</math> קבוצה ריקה אזי מגדירים פורמאלית כי <math>span(S)=\{0\}</math> ===תכונות ===יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.#<math>A\subseteq span(A)</math>#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math># בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ====יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math># <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math> ===תרגילים=======תרגיל 1 ====במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר<math>S=\{\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)\}</math> מצא עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\in span(S)</math> =====פתרון ===== שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש  <math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)</math> שזה בעצם לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\1 & 3 & 2 & b\end{array}\right)</math>יש פתרון. נדרג ונבדוק  <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\1 & 3 & 2 & b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & -2 & a\\0 & 1 & 4 & b-a\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -10 & 3a-2b\\0 & 1 & 4 & b-a\end{array}\right)</math> כלומר יש פתרון למערכת (אפילו אינסוף פתרונות) ולכן לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\in span(S)</math> כלומר <math>span(S)=\mathbb{R}^{2}</math> ====תרגיל 2 ====במרחב הוקטורי <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math> נגדיר <math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math> הציגו את <math>span(S)</math> ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל?=====פתרון =====שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)</math> אם נייצג כל מטריצה באמצעות וקטור. למשל <math>\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right)\leftrightarrow\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right)</math>  נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשוואה<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right)</math> (שימו לב שאלו בדיוק אותם ארבעת המשוואות). כעת נוכל פשוט לשאול האם למערכת <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & a\\1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\end{array}\right)</math>יש פתרון  נדרג ונבדוק: <math>\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & a\\1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\1 & 3 & 0 & d\\1 & 2 & 1 & a\end{array}\right)\to\\\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\0 & 3 & 1 & d-b\\0 & 2 & 2 & a-b\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -1 & b\\0 & 1 & 1 & c\\0 & 0 & -2 & d-b-3c\\0 & 0 & 0 & a-b-2c\end{array}\right)</math> רואים שיש פתרון אמ"מ <math>a-b-2c=0</math> לכן התשובה הסופית היא  <math>span(S)=\{\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,a-b-2c=0\}= \{\left(\begin{array}{cc}b+2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} = \\  \{b\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =  span\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math> כמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב שלנו בכמה צורות.הנה עוד דוגמא ====== הערה: ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי. '''תרגיל.''' יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>  *<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>  *<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math> '''פתרון:''' נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות: <math>\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x \\1 & 1 & 1 & | & y \\1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}</math> נדרג את המערכת לקבל <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}</math> '''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה. (שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)  כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''. <math>\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}</math>

קל לראות שיש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>U+W=span\big(\frac{U\cup Wt-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.

הגדרה: יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> נקראים כלשהם אזי# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math># <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:*לפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס*מתקיים ששמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> הגדרה (הכלל): קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]

הגדרה: וקטורים נקראים '''בלתי תלויים לינאריתהערה/משפט''' (בת תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"לאמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה) אם הם אינם תלויים לינארית.===דוגמאות ===

הגדרה: קבוצה A נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים====דוגמא 1====<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math><math>\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>בת"ל של וקטורים.]כי

משפט: וקטורים <math>v_1\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)=0</math> פירושו <math>\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>. ====דוגמא 2==== 2.(דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.האם הקבוצה <math>\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),v_n\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> בת"ל ? נתבונן ב<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)=0</math>ונמיר אותו להצגה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & 1 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק  <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> לכל הצבה <math>z=t</math> נקבל<math>\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}-t\\-t\\t\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right) </math>פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל. אם רוצים לראות את זה מפורש ניקח למשל <math>t=1</math> ונקבל צ"ל לא טריוואלי שמתאפס  <math>-1\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)=0</math> ====דוגמא 3====יהי <math>0\not=v\in V</math> אזי <math>\{v\}</math> קבוצה בת"ל. לחילופין יהי <math>S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}</math> כך ש <math>0_{V}\in S</math> אזי <math>S</math> ת"ל (ניקח צ"ל שכל המקדמים שווים אפס פרט למקדם של וקטור האפס שניקח להיות שווה 1). ====דוגמא 4====<math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> תהא <math>S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}</math>. האם <math>S</math> בת"ל? פתרון: צריך לבדוק האם <math>\alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=0</math> גורר שזה הצ"ל הטריאלי. לפי השוואת מקדמים נקבל כי : <math>2\alpha_{1}+\alpha_{3}=0,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=0,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=0</math> ובצורה מטריצית <math>\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1\\6 & 0 & 2\\0 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)</math> נבדוק אם למערכת יש פתרון לא טריאלי. <math>\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\6 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{array}\right)</math> כלומר התשובה היא שלמערכת אין פתרון לא טריאלי. כלומר <math>S</math> בת"ל ====דוגמא 5====  '''תרגיל.''' האם הפולינומים <math>x^3-x+1,2x^2+x-1,x^3-1</math> תלויים לינארית?  '''פתרון:''' <math>a(x^3-x+1)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם  <math>(a+c)x^3+2bx^2+(b-a)x+(a-b-c)=0</math> אם"ם <math>(a=-c)\and(2b=0)\and(b=a)\and(a=b+c)</math> אם"ם <math>a=b=c=0</math> אם כן, הצירוף הלינארי היחיד שלהם שמתאפס הוא הצירוף הלינארי הינו הטריוויאלי (כלומר, כל הסקלרים אפסים). זה נובע בקלות בעזרת שלילה לוגיתולכן הפולינומים בת"ל. ====דוגמא 6====הקבוצה <math>\{1,x,x^2,x^3,\dots \}\subseteq \mathbb{F}[x]</math> היא בת"ל

<math>v_1,...,v_n\in V</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים

הוקטורים ת"ל אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, ואחד לפחות ולפחות אחד מבין הסקלרים שווה אפסשונה מאפס. נניח '''ב.ה.כ.''' (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>a_1\neq 0</math>. לכן <math>v_1=-\frac{a_2v_2+...+a_nv_n}{a_1}</math> ולכן <math>v_1=\frac{-a_2}{a_1}v_2+...+\frac{-a_n}{a_1}v_n</math>. הכיוון ההפוך עובד גם הוא (נעביר אגף ונקבל צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס שכן המקדם של <math>v_1</math> הינו אחד ולכן שונה מאפס).

שימו לב שיצא לנו שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים, כמובן שזה לא נכון. זה נובע רק מטיעון בכיוון הפוך נניח כי (ב.ה.כ שלנו, קל למצוא דוגמאות בהן ב) הוקטור הראשון אינו <math>v_1=\sum_{i>1}\alpha_i v_i</math> הוא צ"ל של האחרים.אזי <math>\sum_{i>1}\alpha_i v_i-v_1=0</math>. כלומר קיבלנו צ"ל שמתאפס שיש מקדם אחד לפחות ששונה מאפס (המקדם של <math>v_1</math> הוא <math>-1</math>) על פי הגדרה הוקטורים ת"ל

ממשפט זה קל '''שימו לב''' שיצא לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות. שכן אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי שהוקטור הראשון תמיד צ"ל של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,כמובן שזה לא נכון.זה נובע רק מטיעון ב.ה.כ שלנו,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>קל למצוא דוגמאות בהן הוקטור הראשון אינו צ"ל של האחרים.

===תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרון מערכת משוואות לינאריות===הוכחממשפט זה קל לנו לראות שהצלחנו בהגדרה שלנו לתלות:*<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math> כאשר <math>A=(v_1 v_2 \cdots v_n)</math> הינה המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים <math>v_1,...,v_n</math>

*במקרה זה הפתרון x הינו וקטור הסקלרים של הצירוף הלינארי שנותן את b. כלומר====תרגיל ====תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1}, כאשר v_{2},v_{3}</math>x=\beginוקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{pmatrix1}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end,v_{2},v_{pmatrix3}</math> מתקיים בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי<math>b=x_1v_1+...+x_nv_n\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.

*נניח והוקטורים שייכים למרחב ====תרגיל ====יהא <math>\mathbb{F}^n</math>. הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד הנותן את b אםמ"ם המטריצה הינה ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל. מה ניתן להסיק על הוקטורים במקרה זה?)

===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות=======תרגיל - הקשר בין צירוף לינארי לבין פתרוןמערכת משוואות לינאריות=====

*לפי כפל עמודה נכון לאמר ש יהיו <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+v_1,...+x_nv_n,v_n\in \mathbb{F}^m</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש נגדיר <math>b=x_1v_1+x_2v_2+A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...+x_nv_n,v_n</math>. אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: Ax '''הינה צירוף לינארי של עמודות (כלומר <math>C_i(A עם הסקלרים מ-x''')=v_i</math>).

*הוכחנו כבר בסעיף קודםהוכח כי:1.<math>b\in span\{v_1,...,v_n\}</math> '''אם"ם''' קיים פתרון למערכת <math>Ax=b</math>

*אם הוקטורים 3.נניח והוקטורים שייכים למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> יוצא שהמטריצה הינה (כלומר <math>m=n</math> והמטריצה ריבועית וידוע שיש במקרה זה פתרון ). הוכח שקיים צירוף לינארי יחיד למערכת הנותן את <math>b</math> אם"ם המטריצה הינה הפיכה. אם נציב b=0 מה ניתן להסיק מכך שלמערכת ההומוגית יש על הוקטורים במקרה זה?  =====פתרון יחיד ===== 1+2. ישירות מכפל עמודה-עמודה נקבל כי <math>Ax=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>. לפיכך, ברור שקיים פתרון למערכת Ax=b אם"ם קיימים סקלרים כך ש <math>b=x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n</math>.  אמנם התרגיל הזה טריוויאלי למדי אך '''חשוב מאד''' לזכור תוצאה זו, היא תשמש אותנו בהמשך רבות. בניסוח קליט: <math>Ax</math> '''הינה צירוף לינארי של עמודות <math>A</math> עם הסקלרים מ-<math>x</math>'''. 3. אם המטריצה הפיכהאזי <math>x=A^{-1}b</math> הוא הפתרון היחיד. ולהפיך אם קיים צירוף לינארי יחיד הנותן את <math>b</math> אזי אם נדרג את <math>A</math> קנונית נגיע למטריצת היחידה. זה אומר ש <math>A</math> הפיכה. במקרה זה שהמטריצה הפיכה נסיק כי גם למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math> יש פתרון יחיד אםשהוא <math>x=0</math>. כלומר צ"ם הצירוף הלינארי ל היחיד של הוקטורים עמודות <math>A</math> שמתאפס הינו הצירוף הלינארי הטריוויאלי (אפסים) ולכן '''המטריצה הפיכה אםהוא הצ"ם העמודות שלה ל הטריוויאלי. כלומר עמודות <math>A</math> בת"ל'''.  בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.

תארנו '''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אם# <math>B</math> בת"ל # <math>B</math> פורשת את המרחב, כלומר <math>span(B)=V</math> '''הגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית. '''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים). '''משפט:''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס ===דוגמאות ===בסיסים סטנדרטים: 1. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד 3) בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{n}</math> הוא <math>B=\{e_i | 1\leq i \leq n\}</math> ("וקטורי היחידה") 2. <math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math>אזי <math>B=\{\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>) בהכללה: הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה") 3. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>B=\{1,x,x^{2}\}</math> (מימד 2+1) בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}_{n}[x]</math> הוא <math>B=\{1,x,x^{2},\cdots x^n \}</math> 4.מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]</math>. הבסיס <math>B=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\dots\}</math> הוא בסיס אינסופי. 5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\{0\}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\emptyset </math> הערה: <math>\{0\}</math> '''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0 היא תלויה לינארית  === תכונה חשובה של בסיס === תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס. אזי כל <math>v\in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math> '''בצורה יחידה'''.  הוכחה יהי <math>v\in V</math> #כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math># יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\sum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\forall i (\alpha_i-\beta_i) = 0</math> ולכן <math>\forall i\; \alpha_i=\beta_i</math> כנדרש. '''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר <math>[v]_B=\left(\begin{array}{c}\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\vdots\\\alpha_{n}\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}</math>אמ"מ<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math>    לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס === קריטריונים שקולים לבסיס === בהגדרה של תלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש.  הטענה הנ"ל באופן פורמאלי היא הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה ונניח כי קיים <math>i</math> כך ש <math>v_i</math> תלוי באחרים. אזי <math>span(S)=span(S\setminus \{v_i\})</math> כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא תהיה בסיס. זוהי בניה "מלמעלה ללמטה". כלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן. בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'בסיס'וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל.  אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math>  <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.  לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.

משפט: '''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא # כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס# לכל מרחב וקטורי קיים קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו מספר. לכן מותר להגדיר את ההגדרה הבאה:

===תרגיל===הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויים לינארית====הוכחה====יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: <math>\begin{0\pmatrix}1 &-1 &-1 & -1\subseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד) מתקיים <math>\1 &1 &-1 &1\\ \end{pmatrix}\cdot 0 \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}= 0</math>.

לכן הקבוצה פתרון: נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0&2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} </math>  ולכן הפתרונות הן <math>\{\begin{pmatrix} s \\-t\\s\\t\end{pmatrix} : t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\begin{pmatrix} 1 \\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0\\1\end{pmatrix} \} </math> אלו נקראים ה'''לעולם אינה מהווה בסיספתרונות היסודיים''' כי היא ת"ל, בפרט היא לא והם מהווים בסיס למרחב האפסהפתרונות === תרגיל ===מצא בסיס לתת המרחב <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\} </math>של<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> פתרון: כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית.נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן  <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}=span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)\}</math> וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל

יהיה <math>V </math> מ"ו ותהי <math>S \subseteq V</math> תת קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים שS ש <math>S</math> היא בסיס לVל <math>V</math>:*# <math>S </math> בת"ל*#<math>spanS=V</math>*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: #<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>.)

====תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה V מרחב וקטורי, ויהי W תת מרחב. '''הוכח/הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח====פתרון====נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה שתרגיל: <math>V=\neq Wmathbb{R}^{2\times2}</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון השלם את<math>WS=\subseteq V</math> העובדה ש<math>V{v_{1}=\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>vleft(\in V</math> כך ש <math>vbegin{array}{cc}1 & 1\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט\0 & 1\end{array}\right). נסמן dimW,v_{2}=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW \left(אנחנו יודעים שקיים כזה\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right) <math>S,v_{3}=\left(\begin{v_1,...,v_narray}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math>. לבסיס

כעת, נוכיח שפתרון:ראינו כבר כי <math>span(S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.=

על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n\{\left(\begin{array}{cc}b+1 וקטורים2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b, כלומר יותר גדולה מהמימד. נשלים אותה לבסיס לV ונקבל בסיס לV עם יותר מ-n איבריםc, בסתירה.d\in \mathbb{R}\} =

התוצאה של תרגיל זהspan\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right), כאמור\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right), חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math>

כעת קיבלנו ש <math>B===תרגיל 7.17===יהא V מ"ו\{v_1,v_2,v_3, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:*B בסיס עבור V*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>A\subseteq Bdim V</math> מתקיים על פי השלישי חינם <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>בסיס

===תרגיל חשוב =הוכחה==יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:n</math>).

נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דבריםהוכח:*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}W=\{0\}</math>*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>

נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכוןעפי השלישי חינם, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך כיוון ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_nB</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל+ <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>.ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math>

מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בBכעת, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא נוכיח ש <math>V=spanS\phicup \oplus span (B/{v\phi)=spanB}</math> כלומר B פורש את Vבהכרח בת"ל. נותר נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שB שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"למתוקף הגדרתם כבסיס.

נניח בשלילה שB אינה על כן, מצאנו קבוצה בת"להמכילה n+1 וקטורים, לכן וקטור אחד ממנה u בסתירה לכך שהמימד של W הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ונקבל סתירה מכיוון שאז החיתוך הנ"ל יכיל את u ובפרט לא יהיה זרn.

==משפט המימדים==יהי V מ"ו ויהיו Uהתוצאה של תרגיל זה,W תתי מרחביםכאמור, חשובה מאד. אזי <math>dim(U+אם W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.

====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב=תרגיל ===#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ביהא <math>V= \mathbb{v_1,...,v_k\R}_2[x]</math>#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים את הבסיס מצא בסיס לחיתוך גם לבסיס לWובסיס לסכום. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לV#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dimV = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>

===תרגיל 8.3===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור בין <math>dimW_1 =\{p(Ux)\cap Win V \; | \; p(1)=0\}</math>? הוכח!

====פתרון====ראשית, לבין <math>U+WW_2 =\subseteq V</math> ולכן <math>dim{p(U+Wx)\leq dim(in V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim; | \; p(V+W2)=dim(V)+dim(W)-dim(U0\cap W)=3+4-dim(U\cap W)}</math>.

ביחד מקבלים ש א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>dimW =\{p(Ux)\cap Win V \; | \; p(1)\geq =p(2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)=0\leq 3}</math>.

סה"כ האפשרויות למימד הן רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2,משוואות עם 3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהונעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.

לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>. ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>. ===תרגיל 8===תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ \left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\right\}</math>  ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>  === תרגיל ===.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}a_{0}-3a_{1}-5a_{2}=a_{3}\\4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>. האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!) === תרגיל ===יהא <math>V </math> מ"ו ממימד n, ויהיו U,W . יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{2}</math> תתי מרחבים כך ש dimU=n-. הוכיחו/הפירכו: כל בסיס של <math>W_{2}</math> ניתן לצמצום לבסיס של <math>W_{1 }</math>. ===תרגיל 7.17===יהא V מ"ו-W אינו מוכל בU, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח כי W+U=שהתנאים הבאים שקולים: (1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math> (2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>

נוכיח בעזרת משפט המימדים ש dim<math>(U2) \Leftarrow (1) </math>  נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+W1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math> (שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)  התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=dimV ואז המשל 0</math>. מהגדרת החיתוך נובעכי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש. התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math>  <math>(1) \Leftarrow (2) </math>  מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>dim(U+W)A=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U{u\cap W)<dimW }</math> ולכן ומכייון שבהכרח <math>dimW-dim(U\cap W)u \geq 1neq 0</math>. ביחד מקבלים <math>dimנקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (U+Wחיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.