שינויים

#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים. # בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>

#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(WA)\subseteq span(B)</math># בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=Wspan\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math> ## באופן כללי מתקיים כי <math>span(רק אם A)+span(B)=span(A\cup B)</math>W. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ת"מ!ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)#</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!) #מסקנה : אם <math>A\subseteq span(B)</math> אזי אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>) ==== תרגיל ====יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו: # <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math># <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math>

מהו הציגו את <math>span(S)</math> ?ע"י משוואות. מצאו, אם קיים, מטריצה שאינה ב <math>span(S)</math>. האם S בת"ל?

נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאהבמשוואה

==תלות לינארית==דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישורכמו שרואים בפתרון הסופי, ניתן להביע את התת מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''שלנו בכמה צורות.הנה עוד דוגמא

באופן פורמאלי====== הערה:ניתן להגדיר/להציג תת מרחב בכמה דרכים ======בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את אותו תת המרחב הוקטורי. '''תרגיל.''' יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות:*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>  *<math>\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>  *<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math> '''פתרון:''' נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות: <math>\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x \\1 & 1 & 1 & | & y \\1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}</math> נדרג את המערכת לקבל <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}</math> '''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה. (שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)  כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''. <math>\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}</math>  <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\\end{pmatrix}</math> יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math> ==תלות לינארית==

# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>

יהיו <math> v_1,...,v_n\in \mathbb{F}^m</math> נגדיר <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> להיות המטריצה שעמודותיה הן <math> v_1,...,v_n</math> (כלומר <math>C_i(A)=v_i</math>).

== הצגות שונות של תתי מרחבים בסיס ומימד==בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו '''הגדרה:''' יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי (או תת מרחב ) מעל <math>\mathbb{F}</math>. קבוצה <math>B\subset V</math> תקרא בסיס אםנראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג # <math>B</math> בת"ל # <math>B</math> פורשת את אותו תת המרחב הוקטורי., כלומר <math>span(B)=V</math>

'''תרגילהגדרה:''' המימד של <math>V</math> הוא <math>dim_{\mathbb{F}}V=|B|</math> (מספר האיברים ב <math>B</math>) כאשר <math>B</math> הוא בסיס.אם <math>dim_{\mathbb{F}}V<\infty</math> אזי <math>V</math> יקרא נוצר סופית. '''משפט:''' ההגדרה של מימד מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת הבסיס. כלומר כל שתי בסיסים <math>B,B'</math> בעלי אותה עוצמה (בעלי אותו מספר איברים).

יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות'''משפט:*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>''' לכל מרחב וקטורי '''קיים''' בסיס

*1. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math>אזי <math>B=\{\left(x,y,z,w)\in begin{array}{c}1\mathbb\0\\0\end{Rarray}^4 |\right),\left(z-y-x=\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\and left(w-y+x=\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד 3)

*2. <math>V=\mathbb{C}^{3\times2}</math>אזי <math>B=\{\bigleft(\fracbegin{t-sarray}{2cc}1 & 0\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right),\fracleft(\begin{t+sarray}{2cc}0 & 0\\1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),t\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\1 & 0\end{array}\right),s\bigleft(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\\0 & 0\end{array}\right)|t,s\inleft(\mathbbbegin{Rarray}{cc}0 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math>הוא בסיס. (המימד הוא <math>3\cdot 2=6</math>)

'''פתרוןבהכללה:'''הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\mathbb{F}^{m\times n}</math> הוא <math>B=\{E_{i,j} | 1\leq i \leq m, \;1\leq j \leq n\}</math> ("מטריצות היחידה")

נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה3. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in spanV=\mathbb{R}_{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}[x]</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל. בסיס <math>(x,y,z,w)B=a(0,\{1,1x,1)+bx^{2}\}</math> (מימד 2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:

בהכללה הבסיס הסטנדרטי ל <math>V=\beginmathbb{pmatrixF}0 & 2 & 1 & | & _{n}[x ]</math> הוא <math>B=\\1 & 1 & {1 & | & y \\1 & 3 & ,x,x^{2 & | & z },\cdots x^n \1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}</math>

5. לפי הגדרה, הבסיס למרחב האפס <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & | & y \\0 & 2 & 1 & | & x \}</math> הוא הקבוצה הריקה <math>B=\0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\\end{pmatrix}emptyset </math>

'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם הערה: <math>z-y-x=\{0\}</math> וגם <math>w-y+x='''אינו''' בסיס כי כל קבוצה המכילה את 0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.היא תלויה לינארית

כעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית הנתונה. נדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''תרגיל: יהא <math>V</math> מרחב וקטורי, <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס.

אזי כל <math>v\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}in V</math> '''ניתן''' להציג כצ"ל של <math>B</math>'''בצורה יחידה'''.

יהי <math>v\begin{pmatrix}in V</math> 1 & 0 & -#כיוון ש <math>B</math> פורשת את <math>V</math> קיים צ"ל של <math>B</math> ששווה ל <math>v</math># יחידות: נניח שני צ"ל של <math>B</math> שווים ל <math>\fracsum_{i=1}^n\beta_i v_i=v=\sum_{2i=1} & ^n\fracalpha_i v_i</math> נוכיח כי זהו אותו צ"ל (כלומר המקדמים שווים). אכן אם נעביר אגף נקבל כי <math>\sum_{i=1}{2} & | & 0 ^n(\alpha_i-\beta_i)v_i=0 & 1 & -</math>. כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי <math>\frac{1}{2} & forall i (\alpha_i-\frac{1}{2} & | & beta_i) = 0 </math> ולכן <math>\forall i\; \end{pmatrix}alpha_i=\beta_i</math>כנדרש.

יש שני משתנים תלויים- x'''הגדרה''' יהא <math>V</math> מרחב וקטורי,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z<math>B=t\{v_1, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה \dots ,v_n\}</math>בסיס ויהי <math>v\in V</math> . ההצגה של <math>v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא וקטור המקדמים בצ"ל. כלומר <math>[v]_B=\bigleft(\fracbegin{t-sarray}{2c},\fracalpha_{t+s1}\\\alpha_{2},t,s\big\\vdots\\\alpha_{n}\end{array}\right)\in\mathbb{F}^{n}</math>אמ"מ<math>v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i</math>

====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>#נשלים אותו לפני שנעבור לדוגמאות יותר מסובכות נראה קריטריונים שקולים לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>

===תרגיל 8.3 קריטריונים שקולים לבסיס ===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים בהגדרה של Vתלות לינארית ראינו שאפשר לראות תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!

ביחד מקבלים ש אזי <math>dimspan(U\cap WS)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim=span(US\cap Wsetminus \{v_i\})\leq 3</math>.

סהזוהי בניה "מלמעלה ללמטה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהוכלומר מתחילים עם <math>V</math> ו"זורקים" וקטורים כמה שניתן.

בניה נוספת היא בניה "מלמטה ללמעלה". מתחילים עם הקבוצה הריקה ''ומוסיפים'' וקטורים כך שהקבוצה המתקבלת היא בת"ל. כמובן שגם לפעולה זאת יש סוף (אחרי מספר צעדים השווה למימד של המרחב) - מתי שלא ניתן להוסיף אף וקטור מבלי לגרוע מ"בת"ליות" הקבוצה, הגענו לבסיס. בניה זאת מתבססת על הטענה הבאה: טענה: יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> ותהא <math>S=\{v_{1},\dots v_{n}\}</math> קבוצה בת"ל.  אם קיים <math>v\in V\setminus span(S)</math> אז <math>S^{'}=\{v_{1},\dots v_{n},v\}</math> בת"ל גם כן. הוכחה: נניח <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}+\alpha v=0</math>  <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=-\alpha v\Leftarrow</math> <math>\alpha=0\Leftarrow</math> כי אחרת נקבל ש <math>v\in span(S)</math> ע"י חילוק ב <math>-\alpha</math> <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0\Leftarrow</math> <math>\alpha_{i}=0\Leftarrow</math> כי <math>S</math> בת"ל.  לסיכום: '''משפט:'''יהיה <math>B\subset V</math> אזי התנאים הבאים שקולים:# <math>B</math> בסיס.# <math>B</math> קבוצה בת"ל מקסימאלית# <math>B</math> קבוצה פורשת את <math>V</math>- מינימאלית.  '''מסקנה חשובה''' ממפרק זה היא # כל קבוצה <math>B</math> בת"ל ניתן '''להשלים''' לבסיס# לכל קבוצה פורשת <math>S</math> קיימת '''תת קבוצה''' שהיא בסיס     (חידה מטופשת: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?) ===תרגיל 8===מצא בסיס למרחב הפתרונות של המערכת <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ x_4\end{pmatrix}= 0</math> פתרון: נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\1 &1 &-1 &1\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\to \\\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0\\0 &1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרונות הן <math>\{\begin{pmatrix} s \\-t\\s\\t\end{pmatrix} : t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\begin{pmatrix} 1 \\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0\\1\end{pmatrix} \} </math> אלו נקראים ה'''פתרונות היסודיים''' והם מהווים בסיס למרחב הפתרונות === תרגיל ===מצא בסיס לתת המרחב <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\} </math>של<math>V=\mathbb{R}^{3}</math> פתרון: כיוון שיש לנו כבר קבוצה פורשת, נותר רק ל"זרוק" את הוקטורים התלויים לינארית.5נעשה זאת ע"י ע"י דירוג מטריצה <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\2 & -3 & -1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & -1 & -1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> כלומר הוקטור השלישי תלוי לינארית בשניים הראשונים ולכן  <math>span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)\}=span \{\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\0\end{array}\right)\}</math> וזהו בסיס כי הוקטורים האלה כבר בת"ל ===משפט השלישי חינם===יהא יהיה <math>V </math> מ"ו ממימד ותהי <math>S\subseteq V</math> תת קבוצה. אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים ש <math>S</math> היא בסיס ל <math>V</math>:# <math>S</math> בת"ל#<math>spanS=V</math>#<math>\#S=dimV</math> (מספר האיברים ב<math>S</math> שווה למימד של <math>V</math>. ==== תרגיל ==== תרגיל: <math>V=\mathbb{R}^{2\times2}</math> . השלם את<math>S=\{v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right),v_{2}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 3\end{array}\right),v_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 0\end{array}\right)\}</math>לבסיס פתרון:ראינו כבר כי <math>span(S)= \{\left(\begin{array}{cc}b+2c & b\\c & d\end{array}\right)\,|\,b,c,d\in \mathbb{R}\} =   span\{\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\}</math> מכאן אפשר לראות בקלות כי# <math>S</math> בת"ל. כי <math>S</math> פורשת את <math>span(S)</math> והמימד שלו 3 כמו גודל <math>S</math>. על פי השלישי חינם <math>S</math> בת"ל.# <math> v_4= \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) \not\in span(S)</math> ולכן <math>S\cup \{v_4\}</math> בת"ל גם כן (כמו שהוכחנו באחד התרגילים). כעת קיבלנו ש <math>B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}</math> קבוצה בת"ל בת 4 איברים = <math>\dim V</math> על פי השלישי חינם <math>B</math> בסיס === תרגיל חשוב ===יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיה <math>W\leq V</math> תת מרחב מאותו מימד סופי(נסמן <math>dim_{\mathbb{F}}V=dim_{\mathbb{F}}W=n</math>). הוכח: <math>W=V</math> פתרון:  נבחר <math>B=\{w_{1}, ויהיו U\dots,w_{n}\}</math> בסיס ל <math>W תתי מרחבים </math>. בפרט מתקיים כי# <math>span(B)=W</math># <math>B</math> בת"ל.  עפי השלישי חינם, כיוון ש <math>B</math> בת"ל + <math>\#B=n=\dim V</math> מתקיים כי <math>span(B)=V</math>. ומכאן ש <math>W=span(B)=V</math> '''במילים: תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הם שווים'''  ====תרגיל חשוב (חלק מ7.7), הוכחה נוספת==== נתון ש<math>\dim V=\dim W</math>. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה שנקבל סתירה . מכיוון שנתון <math>W\subseteq V</math> העובדה ש<math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש dimU<math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimW=dimV=nוניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}</math>.  כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,..,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס. על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 ו-וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W אינו מוכל בUהוא n. הוכח  התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים. ===תרגיל ===יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום. בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math>  לבין <math>W_2 =\{p(x)\in V \; | \; p(2)=0\}</math>  ==== פתרון ==== א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>. מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+Ua_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>. רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1. לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>. ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>. === תרגיל ===תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ \left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\right\}</math>  ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math>  === תרגיל ===.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}a_{0}-3a_{1}-5a_{2}=a_{3}\\4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>. האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!) === תרגיל ===יהא <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{2}</math> תתי מרחבים. הוכיחו/הפירכו: כל בסיס של <math>W_{2}</math> ניתן לצמצום לבסיס של <math>W_{1}</math>. ===תרגיל 7.17===יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים: (1) <math>B</math> בסיס עבור <math>V</math> (2) וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>

נוכיח בעזרת משפט המימדים ש dim<math>(U2) \Leftarrow (1) </math>  נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+W1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math> (שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.)  התנאי הראשון: יהא <math>v\in span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\} </math> צ"ל <math>v=dimV ואז המשל 0</math>. מהגדרת החיתוך נובעכי קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=v=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. נעביר אגף ונקבל כי <math>a_1v_1+...+a_jv_j-b_{j+1}v_{j+1}-...-b_nv_n=0</math> כיוון ש <math>B</math> בת"ל נובע כי כל המקדמים שווים 0 ובפרט <math>v=0</math> כנדרש. התנאי השני: <math>span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}= span\{v_1,...,v_j,v_{j+1},...,v_n \}=span(B)=V</math>  <math>(1) \Leftarrow (2) </math>  מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.

נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>dim(U+W)A=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U{u\cap W)<dimW }</math> ולכן ומכייון שבהכרח <math>dimW-dim(U\cap W)u \geq 1neq 0</math>. ביחד מקבלים <math>dimנקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (U+Wחיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.