שינויים
/* פתרון */
===תכונות ===
יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי
#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים. #<math>A\subseteq span(A)</math>#<math>A\subseteq B</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math>
# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>
## באופן כללי מתקיים כי <math>span(A)+span(B)=span(A\cup B)</math>. הוכחה: מצד אחד <math>A,B\subseteq A\cup B</math> ולכן <math>span(A),span(B)\subseteq span(A\cup B)</math> ולכן <math>span(A)+span(B)\subseteq span(A\cup B)</math>מצד שני <math>A\subseteq span(A)\subseteq span(A)+span(B)</math> ובאופן דומה גם <math>B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>A\cup B\subseteq span(A)+span(B)</math> ולכן <math>span(A\cup B)\subseteq span(A)+span(B)</math>
===תרגילים===
\end{array}\right)\}</math>
=====פתרון =====
שאלה שקולה: עבור אילו <math>a,b,c,d\in\mathbb{F}</math> קיימים סקלארים <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}</math> כך ש
נוכל להחליף את המשוואה לעיל במשואאהבמשוואה
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
==תלות לינארית==
הגדרות:
יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
'''הערה:''' הקבוצה הריקה <math>\emptyset \subseteq V</math> מוגדרת כקבוצה בת"ל.
'''הערה/משפט''' תכונה שקולה לכך שקבוצת וקטורים היא תלויה לינארית ניתנת לניסוח באמצעות פרישה. קבוצה S היא ת"ל אמ"מ קיים לפחות וקטור אחד אשר הסרתו מהקבוצה לא פוגעת בspan (כלומר span הקבוצה איתו או בלעדיו שווה).
===דוגמאות ===
'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.
====תרגיל ====
תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי
<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.
====תרגיל ====
תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.
====תרגיל ====
יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה)
אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)
====תרגיל ====
תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.
===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===
===תרגיל ===
יהא <math>V= \mathbb{R}_2[x]</math>. מצא בסיס לחיתוך ובסיס לסכום.
בין <math>W_1 =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=0\}</math>
==== פתרון ====
א. '''בסיס לחיתוך:''' החיתוך הוא פשוט <math>W =\{p(x)\in V \; | \; p(1)=p(2)=0\}</math>.
מתקיים כי <math>a_0+a_1x+a_2x^2\in W</math> אמ"מ <math>a_0+a_1+a_2=0=a_0+2a_1+4a_2</math>.
רואים שזהו מערכת משוואות עם משתנה חופשי אחד (המערכת היא 2 משוואות עם 3 נעלמים) ולכן המימד של W הוא 1.
לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>. ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>. === תרגיל ===תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ \left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}a_{0}-3a_{1}-5a_{2}=a_{3}\\4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}\end{array}\right\}</math> === תרגיל ===הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>. האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!) === תרגיל ===יהא <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{2}</math> תתי מרחבים. הוכיחו/הפירכו: כל בסיס של <math>W_{2}</math> ניתן לצמצום לבסיס של <math>W_{1}</math>.
===תרגיל 7.17===
