שינויים

# <math>span(S)</math> הינו תמיד תת-מרחב כפי שקל להוכיח באמצעות הקריטריון המקוצר - צירוף לינארי של צירופים לינאריים הינו צירוף לינארי בעצמו. בנוסף הוא התת מרחבב הקטן ביותר (מינימום לפי יחס ההכלה) המכיל את הקבוצה אותה הוא פורש (כלומר אם ת"מ <math>W</math> מקיים <math>S\subset W</math> אזי <math>span(S)\subset W</math>)#

===תרגיל===יהי V כלומר אם ת"מ"ו ותהי A תת קבוצה שלו. הוכח שלכל תת מרחב W כך ש A מוכלת בW, מתקיים ש <math>spanA\subseteq W</math>.====הוכחה====אם <math>v\in spanAleq V</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים מקיים <math>v_1,...,v_kS\in A</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>A\subseteq subset W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור אזי <math>v=a_1v_1+...+a_kv_kspan(S)\in subset W</math> משל.

קל לראות הוכחהאם <math>v\in spanS</math> אזי קיימים וקטורים וסקלרים <math>v_1,...,v_k\in S</math>, <math>a_1,...,a_k\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k</math>. מתוך הנתון ש<math>S\subseteq W</math> נובע ש<math>v_1,...,v_k\in W</math> ולכן מתוך סגירות לכפל וסקלר וחיבור <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k\in W</math> משל.  ===תכונות ===יהיה <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>A,B\subseteq V</math> תתי קבוצות ו <math>W,U\leq V</math> תתי מרחבים. אזי#<math>U+W=span\{U\cup W\}</math>, וכפי שאמרנו הסכום הינו תת המרחב הקטן ביותר המכיל את שני תתי המרחבים.# בתירגול הקודם ראינו כי <math>span\{v_1,\dots v_m\}+span\{v_{m+1},\dots v_{m+k}\}=span\{v_1,\dots v_{m+k}\}</math>#<math>A\subseteq span(A)</math>#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!)#<math>span(A)\subseteq span(B)</math>#מסקנה <math>A\subseteq span(B)</math> אזי <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה<math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)