דיברנו על כך שצירופים לינאריים הינם כל הסכומים (כולל כפל בסקלרים) של הוקטורים הנתונים. אם נסתכל על פרישה באופן גיאומטרי, אנו רואים שעל ידי וקטורים נפרשים: קו ישר, מישור, מרחב או משהו 4 מימדי ומעלה. כעת, אנו רוצים לראות אילו מהוקטורים "מיותר" כלומר, אם אנחנו יודעים ש10 וקטורים פורשים מישור מסויים, כמה וקטורים מהם אפשר להסיר ועדיין לקבל את אותו המישור? במקרה וניתן להסיר וקטור כלשהו, קבוצה הוקטורים תקרא '''תלויה לינארית'''.
באופן פורמאלי:
הגדרההגדרות: וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראים '''תלויים לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> כך שמתקיימות שתי התכונות הבאות:*לפחות אחד מבין הסקלרים שונה מאפס*מתקיים ש<math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
יהא <math>V</math> מ"ן מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בילתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
הגדרה: וקטורים נקראים '''בלתי תלויים לינארית''' (בת"ל) אם הם אינם תלויים לינארית.
הגדרה(הכלל): קבוצה A <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימת בתוכה קבוצה סופית כלשהי של וקטורים, כך שוקטוריה תלויים לינארית לפי ההגדרה לעיל. [לא נתעסק בקורס זה בקבוצת אינסופיות בת"ל, אבל אתם יותר ממוזמנים לנסות לחשוב על מרחב וקטורי בעל קבוצה אינסופית בת"ל של וקטורים.]
משפט: וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> בת"ל אם"ם הצירוף הלינארי היחיד שלהם שמתאפס הוא הצירוף הלינארי הטריוויאלי (כלומר, כל הסקלרים אפסים). זה נובע בקלות בעזרת שלילה לוגית.===דוגמאות ===
.1 <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\}</math>
בת"ל כי
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)=0</math>
פירושו
<math>\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>
שזה גורר <math>\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}=0</math>.
2. (דוגמא מייצגת) <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>
<math>{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>
נתבונן ב
<math>\alpha_{1}\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1
\end{array}\right)+\alpha_{2}\left(\begin{array}{c}
-1\\
-3\\
0
\end{array}\right)+\alpha_{3}\left(\begin{array}{c}
0\\
-1\\
1
\end{array}\right)=0</math>
ונמיר אותו להצגה מטריצית
<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & 1 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)</math>
כעת השאלה שקולה האם יש פתרון לא טריאלי למערכת. נדרג ונבדוק
<math>\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
נציב <math>z=t</math> ונקבל
<math>\left(\begin{array}{c}
-t\\
-t\\
t
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=</math>
פתרון לא טרוויאלי. כלומר הוקטורים הנ"ל ת"ל.
.3 יהי 0\not=v\in V
אזי \{v\}
קבוצה בת"ל.
.4 יהי S=\{v_{1}\dots,v_{n}\}
כך ש 0_{V}\in S
אזי S
ת"ל.
.5 V=\mathbb{R}_{2}[x]
מרחב הפלינומים עד דרגה 2 מעל \mathbb{R}
. תהא S=\{2+6x,x^{2},1+2x+2x^{2}\}
.האם 1+x+x^{2}
הוא צ"ל של איברי S
?פתרון: צריך למצוא \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}
כך ש \alpha_{1}(2+6x)+\alpha_{2}x^{2}+\alpha_{3}(1+2x+2x^{2})=1+1x+x^{2}
כלומר לפי השוואת מקדמים : 2\alpha_{1}+\alpha_{3}=1,\,6\alpha_{1}+2\alpha_{3}=1,\,\alpha_{2}+2\alpha_{3}=1
ובצורה מטריצית \left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1\\
6 & 0 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\alpha_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right)
. נבדוק\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 1 & 1\\
6 & 0 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -1 & -2\\
0 & 1 & 2 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & -2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -0.5\\
0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
כלומר -0.5(2+6x)+(-3)x^{2}+2(1+2x+2x^{2})=1+1x+x^{2}
.
===משפט===
<math>v_1,...,v_n</math> ת"ל אם"ם אחד מהוקטורים הינו צירוף לינארי של האחרים