בנוסף, מכיוון שאנו יודעים שמטריצה הפיכה אם"ם המשולחפת שלה הפיכה, ניתן גם להסיק ש'''מטריצה הינה הפיכה אם"ם שורותיה בת"ל'''.
==בסיס ומימדהצגות שונות של תתי מרחבים ==תארנו בסעיף זה נראה מספר הצגות לאותו תת מרחב נראה שישנן שלוש דרכים שונות להציג את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על אותו תת המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''הוקטורי.
הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב W ותהי קבוצת וקטורים S. אזי S נקראת '''בסיס לWתרגיל.''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:*S פורשת את W. כלומר, spanS=W.*S בת"ל. (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים.)
משפטיהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלוש הקבוצות הבאות שוות: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס*<math>span\{(0,1,1,1), וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו גודל (כלומר2,1,3,-1),(1,1,2, יש בהם אותו מספר ווקטורים0). \}</math>
לכן מותר להגדיר את ההגדרה הבאה:
הגדרה: יהיה מרחב וקטורי. ניקח לו בסיס כלשהו *<math>\{(מותר לפי המשפט)x, מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''המימד''' של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספר.y,z,w)\in \mathbb{R}^4 |(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>
'''הגדרה: הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה, ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס.'''
*<math>\{\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math>
(חידה מטופשת'''פתרון: אם ניקח את המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימה. מהי?)'''
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיימים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:
===תרגיל===הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויה לינארית====הוכחה====יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: <math>\begin{pmatrix}0& 2 & 1 & | & x \}\subseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס (ובפרט לאחד) מתקיים <math>1 & 1 & 1& | & y \cdot 0 = \1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0& | & w \\\end{pmatrix}</math>.
לכן הקבוצה <math>\{0\}</math> '''לעולם אינה מהווה בסיס''' כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס.נדרג את המערכת לקבל
===משפט השלישי חינם===<math>\begin{pmatrix}יהיה V מ"ו ותהי S קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח (בחינם) ומתקיים שS היא בסיס לV:1 & 1 & 1 & | & y \\*S בת"ל0 & 2 & 1 & | & x \\*spanS=V0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\*מספר האיברים בS שווה למימד של V. (מסומן: <math>\#S=dimVend{pmatrix}</math>.)
===תרגיל חשוב (חלק מ7.7)===יהיה V מרחב וקטורי'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', ויהי W תת מרחבשכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''הוכח/הפרךהאם קיים פתרון למערכת''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרח====ובמקרה זה קיים פתרון====נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה ש<math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון "ם <math>W\subseteq Vz-y-x=0</math> העובדה שוגם <math>V\neq W</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math> (זה תרגיל לוגי פשוט). נסמן dimWw-y+x=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW (אנחנו יודעים שקיים כזה) <math>S=\{v_1,...,v_n\}0</math>וזו בדיוק הקבוצה השנייה.
כעת, נוכיח ש<math>S\cup \{v\}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן (שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של <math>v_1,v_2,פתרון.זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.,v_n,v</math> שמתאפס. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ש-v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם של v הינו אפס. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס של <math>v_1,...,v_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
על כן, מצאנו קבוצה בת"ל המכילה n+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n.
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאדכעת נראה את השיוויון בין הקבוצה השנייה לשלישית. אם W תת מרחב המרחב הוא בעצם אוסף הפתרונות של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שוויםמערכת המשוואות הלינארית הנתונה. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמייםנדרג אותה והפעם '''נחפש את הפתרון הכללי'''.
<math>\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 & 0 & | & 0 \\
1 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\
\end{pmatrix}</math>
===תרגיל 7.17===
יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקולים:
*B בסיס עבור V
*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
====הוכחה====<math>\begin{pmatrix}ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & 0 \\0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0 \\\end{pmatrix}</math>
נניח B בסיס לVיש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפסw. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>Bz=\{v_1t,...,v_n\}</math> ו <math>Aw=\{v_1,...,v_j\}s ונקבל פתרון כללי מהצורה </math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus spanbig(\frac{v_{j+1t-s},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:*<math>span\{v_1,...,v_j\2}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\frac{0\}</math>*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}t+ span\{v_{j+1s},...,v_n\}</math> (שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.) נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+12}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל. כעתt, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: <math>spanA+spanB=span(A s\cup Bbig)</math>) נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון: מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש <math>V=span\phi\oplus span (B/\phi)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל. נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)
==משפט המימדים==