ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:
נניח B בסיס לV, ברורמכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math> (שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זה.) נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש<math>a_1v_1+...+a_jv_j=b_{j+1}v_{j+1}+...+b_nv_n</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל. כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון: