יהי <math>V=\mathbb{R}^4</math>, הוכח ששלושת הקבוצות הבאות שוות:
*<math>span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math>
*<math>\{(x,y,z,w)|(z-y-x=0)\and (w-y+x=0)\}</math>
*<math>\{\big(\frac{t+s}{2},\frac{t-s}{2},t,s\big)|t,s\in\mathbb{R}\}</math>
'''פתרון:'''
נראה שהקבוצה הראשונה שווה לשנייה. וקטור נמצא בspan של קבוצת הוקטורים אם"ם הוא צירוף לינארי שלה. לכן, <math>(x,y,z,w)\in span\{(0,1,1,1),(2,1,3,-1),(1,1,2,0)\}</math> אם"ם קיים סקלרים a,b,c כך ש <math>(x,y,z,w)=a(0,1,1,1)+b(2,1,3,-1)+c(1,1,2,0)</math>. לכן, הוקטור הוא צ"ל אם"ם קיים פתרון למערכת המשוואות הלינארית על a,b,c כאלה. בעצם, אנו רוצים לאמר על מערכת משוואות פרמטרית מתי יש לה פתרון. נביט במערכת המשוואות:
<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & | & x \\
1 & 1 & 1 & | & y \\
1 & 3 & 2 & | & z \\
1 & -1 & 0 & | & w \\
\end{pmatrix}</math>
נדרג את המערכת לקבל
<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & | & x \\
1 & 1 & 1 & | & y \\
0 & 0 & 0 & | & z-y-x \\
0 & 0 & 0 & | & w-y+x \\
\end{pmatrix}</math>
'''זכרו שלא מעניין אותנו פתרון המערכת''', שכן אלו הסקלרים של הצירוף הלינארי. מה שמעניין אותנו הוא '''האם קיים פתרון למערכת''' ובמקרה זה קיים פתרון אם"ם <math>z-y-x=0</math> וגם <math>w-y+x=0</math> וזו בדיוק הקבוצה השנייה.
(שימו לב גם למשפט מתרגול שעבר - b נמצא במרחב העמודות של A אם ורק אם למערכת Ax=b יש פתרון. זה בדיוק מה שקיבלנו בתרגיל זה.)
==קואורדינטות==