#אם אין פתרון, b לא נפרש על ידי האחרים
#אם קיים פתרון x אזי הוא מכיל את הסקלרים של הצירוף הלינארי בהתאם לסדר העמודות בA
==מרחבי המטריצות==
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים שלושה מרחבים עיקריים:
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית Ax=0. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq\mathbb{F}^n</math>
'''משפט:''' לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{F}^n=R(A)\oplus N(A)</math>
הגדרה: '''דרגת''' המטריצה A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA
משפט: <math>rankA=dimR(A)=dimC(A)=n-dimN(A)</math>. אלה שווים למספר המשתנים התלויים, ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
'''דוגמא.'''
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:
*אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)
*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס
לכן הבסיס למרחב האפס הינו <math>\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\}</math>
===אלגוריתם למציאת בסיס למרחב האפס===
#דרג את המטריצה קנונית
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים
#מצא את הפתרון הכללי
#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
#הוקטורים הקבועים מהווים בסיס למרחב האפס
ראינו בהרצאה שפעולות שורה אינן משנות את המרחב הנפרש על ידי השורות. מכאן נובע האלגוריתם הבא:
===אלגוריתם למציאת בסיס למרחב השורות (ומציאת בסיס לקבוצה כלשהי של וקטורים)===
#שים את הקואורדינטות של הוקטורים לפי בסיס סטנדרטי מתאים בשורות מטריצה
#דרג את המטריצה
#השורות שאינן שורות אפסים בצורה המדורגת מהוות יחדיו בסיס למרחב השורות (או למרחב הקואורדינטות של הוקטורים שלנו)
==מטריצות מעבר בין בסיסים==