==בסיס ומימדמשפט המימדים==תארנו את ההגדרה של תלות לינארית בתור היכולת לזרוק וקטורים מבלי להשפיע על המרחב הנפרש. כמובן שלפעולה זו יש סוף - מתישהו לא ניתן לזרוק אף וקטור מבלי לגרוע מהמרחב הנפרש. הקבוצה שנשארנו איתה במקרה זה תקרא '''בסיס'''.[[משפט המימדים]]:
הגדרה: יהי מרחב או תת מרחב <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>U,W ותהי קבוצת וקטורים S\leq V</math> תתי מרחבים. אזי S נקראת '''בסיס לW''' אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:*S פורשת את W. כלומר, spanS=W.*S בת"ל. (כלומר, זרקנו ממנה את כל הוקטורים המיותרים.)
משפט: לכל מרחב וקטורי קיים בסיס, וכל הבסיסים לאותו המרחב הם מאותו גודל <math>dim(כלומר, יש בהם אותו מספר ווקטוריםU+W). =dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
לכן מותר להגדיר ====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים את ההגדרה הבאההבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''נוכיח''' (וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>
הגדרה: יהיה מרחב וקטורי===תרגיל 8. ניקח לו בסיס כלשהו (מותר לפי המשפט)3===יהא V מ"ו ממימד 5, מספר האיברים בבסיס מוגדר להיות '''המימד''' ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של הבסיס. לא יכולה להיות סתירה בהגדרה מכיוון שלפי המשפט כל בסיס שנבחר ייתן בדיוק את אותו המספרV.מהן האפשרויות עבור <math>dim(U\cap W)</math>? הוכח!
'''הגדרה: הבסיס של מרחב האפס הינו הקבוצה הריקה====פתרון====ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן המימד של מרחב האפס הינו אפס<math>dim(U+W)\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)=3+4-dim(U\cap W)</math>.'''
ביחד מקבלים ש <math>dim(חידה מטופשת: אם ניקח את U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד של צירוף לינארי נקבל מנה טעימהשלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. מהי?לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.
סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו. ===תרגיל8.5===יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי כל קבוצה A המכילה את אפס הינה תלויה לינארית<math>W+U=V</math>
====הוכחה====
יש למצוא קבוצה סופית של וקטורים ת"ל בתוך הקבוצה: נוכיח בעזרת משפט המימדים ש <math>\{0\}\subseteq A</math>. וקטור האפס תמיד תלוי לינארית כי לכל סקלר שונה מאפס dim(ובפרט לאחדU+W) מתקיים <math>1\cdot 0 = 0dimV</math>ואז המשל נובע (כי תת מרחב שמוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד).
לכן הקבוצה <math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\{0cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\}geq n-1+1=n=dimV</math> '''לעולם אינה מהווה בסיס''' כי היא ת"ל, בפרט היא לא בסיס למרחב האפס. משל.
===משפט השלישי חינםתרגיל===יהיה V יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו ותהי S קבוצה המוכלת בV. אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, השלישי מתקיים בהכרח V כך ש <math>dim(בחינםW_1+W_2) ומתקיים שS היא בסיס לV:*S בת"ל*spanS=V*מספר האיברים בS שווה למימד של V. \dim (מסומן: W_1\cap W_2) +1</math>. הוכיחו כי <math>\#S{W_1,W_2\}=dimV\{W_1+W_2,W_1\cap W_2\}</math>.)
===תרגיל חשוב פתרון:מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (חלק מ7.7W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)===\dim (W_1\cap W_2) +1</math>יהיה V מרחב וקטוריולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1, ויהי W תת מרחבW_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון. '''הוכחכעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</הפרך''': אם dimV=dimW מתקיים שV=W בהכרחmath> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך. ====פתרון=תרגיל ===נתון שdimV=dimW. נניח בשלילה שיהא <math>V\neq W</math> ונראה אם אנחנו מקבלים סתירה או האם מוצאים דוגמא נגדית. מכיוון שנתון מ"ו מימד אי זוגי <math>W\subseteq dim V=2n+1</math> העובדה שויהיו <math>V\neq WW_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math>גוררת בהכרח שקיים וקטור ת"מ המקיימים כי <math>v\in W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> כך ש הוכיחו <math>v\notin W</math> left(זה תרגיל לוגי פשוטW_{1}\cap U_{1}\right). נסמן dimW=dimV=n וניקח בסיס כלשהו לW +\left(אנחנו יודעים שקיים כזהW_{1}\cap U_{2}\right) <math>S=+\left(W_{v_1,...,v_n2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>.
כעת, נוכיח ש==קואורדינטות==משפט: יהא <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>S\cup \mathbb{v\F}</math> בהכרח בת"ל. נניח בשלילה שהיא כן תלוייה, לכן יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של יהי <math>B=\{v_1,v_2,...,v_n,\}</math> בסיס ל-<math>V</math> ויהי <math>v\in V</math> שמתאפסוקטור. נניח והמקדם של v שונה מאפס, לכן קל להראות שהוא צירוף לינארי של האחרים בסתירה לכך ראינו ש-<math>v אינו שייך לW (הרי יש סגירות בW לצירופים לינאריים) לכן המקדם </math> ניתן להצגה יחידה כצ"ל של v הינו אפס<math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס הוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל. כעת נשארנו עם צירוף לינארי לא טריוויאלי שמתאפס באופן פורמאלי, ההצגה של <math>v_1,v</math> לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...,v_n+a_nv_n</math> וזו סתירה לכך שהם בת"ל מתוקף הגדרתם כבסיס.
על כן, מצאנו קבוצה בת'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ל המכילה nם <math>v=a_1v_1+1 וקטורים, בסתירה לכך שהמימד של W הוא n. ..+a_nv_n</math>
התוצאה של תרגיל זה, כאמור, חשובה מאד. אם W תת מרחב של V והוכחנו שהם מאותו המימד זה מספיק על מנת להגיד שהם שווים. אתם תדרשו בעצם לעשות הוכחות כאלה באמצעות מימדים לא פעם ואף לא פעמיים.: הוכח כי לכל בסיס <math>B</math> מתקיים
<math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>.
הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.
===תרגיל 7.17===יהא V מ"ו, ותהא B קבוצה המוכלת בV. הוכח שהתנאים הבאים שקוליםבהכללה:*B בסיס עבור V*וקטור האפס אינו שייך לB ולכל קבוצה <math>A\subseteq B</math> מתקיים <math>V=spanA\oplus span(B/A)</math>
<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1===הוכחה====ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני:v_2</math>
נניח B בסיס לV, ברור מכך שB בת"ל שהוא אינו מכיל את אפס. תהי A קבוצה המוכלת בB נסמן ב.ה.כ <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> ו <math>A=\{v_1,...,v_j\}</math>. יש להוכיח בעצם שמתקיים <math>V=span\{v_1,...,v_j\}\oplus span\{v_{j+1},...,v_n\} </math>. לצורך זה יש להוכיח שני דברים:
*<math>span\{v_1,...,v_j\}\cap span\{v_{j+1},...,v_n\}=\{0\}</math>
*<math>V=span\{v_1,...,v_j\}+ span\{v_{j+1},...,v_n\}</math>
(שימו לב שאם A ריקה, המשפט נובע בקלות ולכן לא נתייחס עוד למקרה קצה זההערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''.)הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם:
נניח בשלילה שהתנאי הראשון אינו נכון, לכן קיים בחיתוך וקטור שונה מאפס. כלומר קיימים סקלרים כך ש{| border="1" align="center" style="text-align:center;"|מרחב וקטורי|בסיס סטנדרטי|-|<math>a_1v_1+\mathbb{F}^n</math>|<math>(1,0,...+a_jv_j=b_,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>|-|<math>\mathbb{j+F}^{m\times n}</math>|<math>\begin{pmatrix}1& 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}v_,\begin{j+pmatrix}0 & 1& \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix}+,...+b_nv_n,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>. מכיוון שמשני צידי המשוואה יש וקטור שונה מאפס|-|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>|<math>1,x,x^2, לפחות אחד מהסקלרים שונה מאפס. נעביר אגף ונקבל סתירה לכך שB בת"ל..,x^n</math>|-|}
כעת, ברור שהמרחב כולו שווה לסכום הזה מכיוון שהמרחב מורכב מצירופים לינאריים של B והסכום הזה שווה בדיוק לכל הצירופים הלינאריים של B. (למעשה זה נובע מהתכונה הבאה: לכל שתי קבוצות A,B מתקיים: <math>spanA+spanB=span(A \cup B)</math>)
'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>v=1+2x-x^2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
נוכיח שהתנאי השני גורר את הראשון:<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\cdot 1 + 2\cdot x + (-1)\cdot x^2 + 0\cdot x^3</math>.
מכיוון שזה נכון לכל קבוצה A המוכלת בB, בפרט זה נכון לקבוצה הריקה. לכן יוצא ש לפיכך <math>V[v]_S=span\phi\oplus span (B/\phi1,2,-1,0)=spanB</math> כלומר B פורש את V. נותר להראות שB בת"ל.
נניח בשלילה שB אינה בת"ל, לכן וקטור אחד ממנה u הוא צירוף לינארי של האחרים. נסמן בA את הנקודון שמכיל את u כלומר <math>A=\{u\}</math> ומכייון שבהכרח <math>u \neq 0</math> נקבל סתירה לתכונת הסכום הישר (חיתוך שכולל רק את ווקטור האפס)
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==
'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
'''דוגמא.'''
<math>V=\mathbb{R}^2,B=\{(1,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> v=(a,b)</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש-
<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math>
ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math> אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי. === תרגיל === יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>B=\{v_1,\dots ,v_n\}</math> בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם וסקלארים <math>\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in \mathbb{F}</math>. הוכח: <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B =[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B</math> הוכחה: מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה) נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים <math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}[u_1+u_2]_B</math> בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים <math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} = [\alpha u_1]_B</math> מש"ל '''מסקנה:''' 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> הוכחה: 2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>[\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B=[0]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>\sum_{i=1}^k\alpha_i[u_i]_B=0 \Rightarrow \forall i \; \alpha_i =0</math> אמ"מ <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל 3. ברעיון דומה מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>. ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה: '''הגדרה''' : יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא <math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math> '''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math> == דוגמאות ואלגוריתמים===== חיתוך תת מרחבים ======='''תרגיל 7.31'''====
נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
'''פתרון.'''
בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודםאחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
נביט בVב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית לכן <math>0V=\{a+bbx+ccx^2+ddx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכילה את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה: נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי
<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 a\\ 1 & 2 & 4 & 8b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>. נדרג קנונית לקבל
באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא
<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math> את החיתוך <math>[V]_S\cap[U]_S</math> קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל <math>\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math> נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}</math>
ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
<math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.
====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U </math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)</math>
#פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math> #כתוב צירוף לינארי כללי בU ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי בWב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
'''=====תרגיל.'''======
מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.
<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>
במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון
<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>
לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:
במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:
<math>[B]_S \cap [C]_S=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & \\ 4 \\ -1 & \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 & \\ 1 \\ 1 & \\ -2\end{pmatrix}\Big\}=</math>\\<math>=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}</math> ==קואורדינטות==משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.) הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט. '''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש <math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>. הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם: {| border="1" align="center" style="text-align:center;"|מרחב וקטורי|בסיס סטנדרטי|-|<math>\mathbb{F}^n</math>|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>|-|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>|<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>
|-
|<math>\mathbb{F}_n[x]</math>
|<math>1,x,x^2,...,x^n</math>
|-
|}
אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי
'''דוגמא.'''חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>vB\cap C=1+2x-x^span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb\ 4 & -3\end{Rpmatrix}_3[x]</math>. למעשה הפולינום כמעט מוצג כצירוף לינארי של איברי הבסיס: <math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1,\begin{pmatrix}6 & 9 \cdot 1 + 2\cdot x + (4 & -1)6 \cdot x^2 + 0end{pmatrix}\cdot x^3</math>. לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)Big\}</math>.
=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''
חשב את הקואורדינטות של הוקטור <math>(a,b,c)</math> לפי הבסיס הסטנדרטי S של <math>\mathbb{F}^n</math>. קל לראות ש <math>[v]_S = (a,b,c)</math>.
'''דוגמא.'''האם הפולינומים <math>Vv_1=\mathbb{R}1+x^2,Bv_2=\{(1-x,1),(1,-1)\}</math> מצא את הקואורדינטות של הוקטור <math> vv_3=(a,b)x+x^2</math> לפי הבסיס B. במקרה הכינותי מראש- תלויים לינארית?
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
<math>v=\frac{a+b}{2}\cdot (1הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן,1)+\frac{a-b}{2}\cdot (1,-1)</math> נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
ולכן לפי ההגדרה <math>[v]_B=(\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2})</math>
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.
אנו רואים שאין זה קל למצוא את הקואורדינטות לפי בסיס כלשהו שאינו הסטנדרטי.
'''טענהדרך נוספת: נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>.'''צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)
יהא V מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו <math>u_1,...,u_k\in V</math> וקטורים כלשהם. הוכח:*<math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל*<math>w\in span\begin{u_1,...,u_k\pmatrix}</math> אם"ם <math>[w]_B1 & 1 & 0 \in span\0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{[u_1]_B,...,[u_k]_Bpmatrix} \}</math>to נוכיח טענה זו בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהיא נכונה ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbbbegin{Fpmatrix}^n</math>. '''דוגמא.''' האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=& 1& 0 \\ 0 & -x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית? דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,& 1),[v_2]_S=(1,\\ 0 & -1,0),[v_3]=(0,& 1,1)</math>\end{pmatrix} \to הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג. <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 0 & -1 & 0 1 \\ 0 & 1 0 & 10\end{pmatrix}</math>\ <math>R_3-R_1,R_3+R_2</math>
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית!
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליך:
====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> נפרשת על ידי היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>
נסכם:
====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.
'''משפט:''' יהא <math>V </math> מ"ו ויהיו <math>E,F </math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:
<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>
'''דוגמא.'''
יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>
נמצא את <math>[I]^E_F</math>.
מתקיים כי
<math>
v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
</math>
לכן
<math>
[I]^E_F=
\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
</math>
'''תרגיל:'''
הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>
====דוגמא:====
<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>
פתרון:
נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},
[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>
אחרי חישובים מקבלים כי
<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
ולכן
<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
====תרגיל====
תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
ובסיס
<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>
מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>
פתרון:
נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>
נחשב ונמצא כי
<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
מהגדרה נקבל כי
<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
</math>