<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.
===תרגיל===
יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו V כך ש <math>dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>. הוכיחו כי <math>\{W_1,W_2\}=\{W_1+W_2,W_1\cap W_2\}</math>
פתרון:
מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>
ולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון.
כעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</math> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.
=== תרגיל ===
יהא <math>V</math> מ"ו מימד אי זוגי <math>\dim V=2n+1</math> ויהיו <math>W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math> ת"מ המקיימים כי <math>W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> הוכיחו <math>\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>
==קואורדינטות==
הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.
בהכללה:
<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>
מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)
נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u2u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים
<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
[u_1+u_2]_B</math>
בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha_1a_1v_1alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים
<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
מה בעצם המסקנה אומרת? שכל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה '''בכל''' מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==ועוד הגדרה לפני ההמשך, עד כה דיברנו "רק" על ייצוג של וקטורים לפי בסיס. אפשר להכליל בפשטות לכל המרחב הוקטורי. הנה ההגדרה:
'''הגדרה''' :
יהא <math>V</math> מ"ו (או תת מרחב) ויהי <math>B</math> בסיס לו. אזי מרחב הקורדיאנטות (של <math>V</math> לפי בסיס <math>B</math>) הוא
<math>[V]_B = \{[v]_B \; | \; v\in V\}</math>
'''הערה :''' יהא <math>V</math> מ"ו, <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים ו <math>B</math> בסיס. אזי
#<math>[W_1 \cap W_2]_B = [W_1]_B \cap [W_2]_B</math>
#<math>[W_1 + W_2]_B = [W_1]_B + [W_2]_B</math>
== דוגמאות ואלגוריתמים===== חיתוך תת מרחבים ======='''תרגיל 7.31'''====
נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
'''פתרון.'''
בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודםאחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
נביט בVב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית לכן <math>0V=\{a+bbx+ccx^2+ddx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכילה את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה: נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי
<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 a\\ 1 & 2 & 4 & 8b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>. נדרג קנונית לקבל
באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא
<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 a\\ 0 & 1 & 3 & 7b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>
ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה את החיתוך <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)[V]_S\cap[U]_S</math>, ולכן הבסיס הינו קל למצוא! ראינו איך עושים זאת זה פשוט שווה ל <math>(\{\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |\begin{pmatrix} 1 & 2,-3,& 4 & 8 \\ 1,0),(6,-7,0,& 1)& 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d \end{pmatrix} = 0 \}</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית: <math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.
====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U </math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)</math>
#פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math> #כתוב צירוף לינארי כללי בU ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי בWב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
'''=====תרגיל.'''======
מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.
<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>
במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון
<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>
לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:
במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:
<math>[B]_S \cap [C]_S=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & \\ 4 \\ -1 & \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 & \\ 1 \\ 1 & \\ -2\end{pmatrix}\Big\}=</math>\\ <math>=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>
אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי
<math>B\cap C=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & 9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}\Big\}</math>
=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''
האם הפולינומים <math>v_1=1+x^2,v_2=1-x,v_3=x+x^2</math> תלויים לינארית?
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
הוכחנו בשיעור שעבר שוקטורים "רגילים" ת"ל אם"ם המטריצה שהם השורות שלה אינה הפיכה אם"ם הצורה המדורגת של המטריצה מכילה שורת אפסים. לכן, נשים את וקטורי הקואורדינטות בשורות מטריצה ונדרג.
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
<math>R_3-R_1,R_3+R_2</math>
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית. נסכם את התהליךדרך נוספת:נשים את הוקטורים בעמודה של מטריצה <math>A</math>. צ"ל של עמודות <math>A</math> זה פשוט <math>Ax</math>. ולכן הוקטורים בת"ל אמ"מ הפתרון היחידי למערכת <math>Ax=0</math> (צ"ל שמתאפס) הוא הפתרון הטריאלי (הצ"ל הטריאלי)
<math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \</math> קיבלנו שיש משתנים חופשיים ולכן יש פתרון לא טרויאלי ולכן הוקטורים תלויים לינארית! נסכם את התהליך: ====אלגוריתם לבדיקת תלות לינארית בין וקטורים====
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> נפרשת על ידי היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>
נסכם:
====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.
'''משפט:''' יהא <math>V </math> מ"ו ויהיו <math>E,F </math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:
<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>
'''דוגמא.'''
יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>
נמצא את <math>[I]^E_F</math>.
מתקיים כי
<math>
v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
</math>
לכן
<math>
[I]^E_F=
\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
</math>
'''תרגיל:'''
הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>
====דוגמא:====
<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>
פתרון:
נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},
[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>
אחרי חישובים מקבלים כי
<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
ולכן
<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
====תרגיל====
תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
ובסיס
<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>
מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>
פתרון:
נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>
נחשב ונמצא כי
<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
מהגדרה נקבל כי
<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
</math>