שינויים
/* תרגיל */
<math>dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)</math>. מכיוון שW אינו מוכל בU החיתוך בינהם שונה מW. ולכן <math>dim(U\cap W)<dimW </math> ולכן <math>dimW-dim(U\cap W)\geq 1</math>. ביחד מקבלים <math>dim(U+W)=n-1 + dimW -dim(U\cap W)\geq n-1+1=n=dimV</math>. משל.
===תרגיל===
יהיו W1,W2 ת"מ של מ"ו V כך ש <math>dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>. הוכיחו כי <math>\{W_1,W_2\}=\{W_1+W_2,W_1\cap W_2\}</math>
פתרון:
מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>
ולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון.
כעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</math> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.
=== תרגיל ===
יהא <math>V</math> מ"ו מימד אי זוגי <math>\dim V=2n+1</math> ויהיו <math>W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math> ת"מ המקיימים כי <math>W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> הוכיחו <math>\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>
==קואורדינטות==
הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>B</math> בת"ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.
בהכללה:
<math>[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>
מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)
נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u2u_2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים
<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
[u_1+u_2]_B</math>
בנוסף <math>\alpha u_1=\alpha_1a_1v_1alpha a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים
<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
====דוגמא:====
<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
ולכן
<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0.5 \\1 & 0 & -0.5 \\0 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1.5 & 0.5 \\1 & -0.5 & -0.5 \\0 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} </math> ====תרגיל==== תהא <math>A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\1 & 1 & 0 \\\end{pmatrix}</math> ובסיס <math>E =\{\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}\}</math> מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math> פתרון: נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math> נחשב ונמצא כי <math>[I]^F_E= A^{-1} = \begin{pmatrix}-4/3 & 1/3 & 1 \\2/3 & 1/3 & -2 \\1/3 & -1/3 & 1 \\\end{pmatrix}</math> מהגדרה נקבל כי <math>v_1 = -4/3\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+2/3\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+1/3\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2/3 \\-4/3 \\1 \\\end{pmatrix}, \\v_2 = 1/3\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+1/3\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+-1/3\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/3 \\1/3 \\0 \\\end{pmatrix},\\v_3 = 1\begin{pmatrix}1 \\1 \\0 \\\end{pmatrix}+-2\begin{pmatrix}1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 \\1 \\-1 \\\end{pmatrix} </math>
