שינויים

משפט: יהא <math>V </math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-<math>V </math> ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי לראינו ש-<math>v יש הצגה </math> ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס Bהוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל. כלומרבאופן פורמאלי, אם מתקיים ההצגה של <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\forall i:a_iin\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=b_i\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים כאשר <math>a_i-b_iv=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.)

הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטותחשוב לזכור''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט.

'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}0</math> אם"ם <math>[v]_B=a_1v_1+...+a_nv_n0</math>. תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש הוכחה: ישירות מההגדרה. <math>v=0B</math> אםבת"ם <math>[v]_B=0</math>ל ולכן הצ"ל היחידי שמתאפס זהו הצ"ל הטריאלי.

יהא <math>V </math> מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו מעל <math>u_1,...,u_k\in Vmathbb{F}</math> וקטורים כלשהם. הוכח:*ויהי <math>u_1B=\{v_1,...\dots ,u_kv_n\}</math> בת"ל אם"ם בסיס לו. יהיו <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B\in V</math> בת"ל* וקטורים כלשהם וסקלארים <math>w\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in span\mathbb{u_1,...,u_k\F}</math> אם"ם . הוכח:#<math>[w]_B\in spansum_{i=1}^k\{alpha_i[u_1u_i]_B,...,=[u_k\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B\}</math>