#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים
#הוקטורים הקבועים מהווים בסיס למרחב האפס
===תרגיל 7.31===
נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
<math>V=\{p(x)|p(2)=0\}</math>, ו <math>U=\{p(x)|p(1)=0\}</math>
מצא את המימד של חיתוך המרחבים.
====פתרון====
בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כ'''מרחבי אפס''' של מטריצות מתאימות. כמובן שכחלק מתהליך זה נעבור לוקטורי הקואורדינטות, הרי פולינום לא יכול להיות פתרון למערכת הומוגנית של מטריצות.
נביט בV. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכיל את שתי המשוואות הללו, כלומר מקדמיו הם מרחב האפס של המערכת.
נמצא בסיס למרחב האפס <math>\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8\end{pmatrix}</math>. נדרג קנונית לקבל
<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7\end{pmatrix}</math>
ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן בסיס למרחב האפס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור מהקואורדינטות לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית:
<math>\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.