שינויים
/* מרחבי המטריצות */
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)</math> אזי
1. <math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
=== מרחב השורות ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את <math>A</math>).
הוכח <math>R(A)=R(EA)</math>
.
הוכחה:
(<math>\supseteq</math>) יהא <math>(EA)^{t}x\in R(EA)</math> אזי <math>(EA)^{t}x=A^{t}E^{t}x=A^{t}(E^{t}x)=A^{t}y\in R(A)</math>.
(<math>\subseteq</math>) יהא <math>A^{t}x\in R(A)</math> אזי
<math>A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x= (EA)^tE^{-t}x = (EA)^ty \in R(EA)</math>
מסקנה: בפרט אם <math>E</math> מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את <math>A</math> לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית.
תרגיל/דוגמא:
תהא
<math>A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math>
מצא את <math>R(A)</math>
.
פתרון: <math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
.
כיוון שמרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש
<math>\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c}
a\\
2a+b\\
3a\\
4a+b
\end{array}\right)\}
R(A)=span\{</math>
=== מרחב העמודות ===
הגדרה: '''דרגת''' המטריצה A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA
