שינויים
/* אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה */
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים
המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית
מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.
כלומר עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math>מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math>
====תרגיל====
יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות
הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math>
הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>
נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות.
בנוסף <math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math>
כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי
<math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math>
מקבלים ש
<math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subset span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math>
ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>.
באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>
מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math>
הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math>
=== מרחב האפס ===
