===תרגיל.===
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר. תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cap B_N</math> 'בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה)) באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)</math>
'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.
נניח וקיים יהא <math>v ששייך למרחב הפתרונות וגם למרחב השורות\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exsits w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math> כעת לפי משפט המימדים מתקיים <math>\dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n</math> כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים. מכיוון שהוא שייך למרחב השורות <math>הערה:</math>כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן להפעיל פעולות שורה ליישמו גם על המטריצה כך שאחת משורותיה תהפוך להיות v, בלי הגבלת הכלליות תהא זו השורה הראשונההשיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math> לדוגמא עבור<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math> .מצאנו כי ----B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)\} B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}
מכיוון ש-v במרחב הפתרונות של A, הוא גם במרחב הפתרונות של המטריצה לאחרת פעולות השורה B, ומתקיים לפי המשפט <math>Bv=\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}</math>. אבל האיבר הראשון במכפלה שווה בסיס ל<math>\mathbb{R}^{4}</math>ו <math>\{\left(\begin{array}{c}1\\0=R_1\\1\end{array}\right),\left(A\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)v=v,\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> בסיס ל <math>\mathbb{R}^tv{3}</math> וכפי שלמדנו זהו סכום ריבועים שמתאפס ולכן v=0 כפי שרצינו.
