שינויים
/* יישום: השלמה לבסיס */
==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדוגרת.
כמו שראינו, כאשר מוסיפים וקטור אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> שאינו נמצא ב אזי <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.
דוגמא:
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>
<math>
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 0 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\2 0 & 1 & -1 & 3 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 1 & 1 \\0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\}
</math>
ומכאן רואים כי
<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו
<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}ת
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס
=== מרחב העמודות ===
