שינויים

תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים שלושה 4 מרחבים עיקריים:*'''מרחב השורותהעמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי שורות עמודות המטריצה A. נסמן <math>RC(A)=span\{R_1C_1(A),...,R_mC_n(A)\}=\subseteq{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>*'''מרחב העמודותהשורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות שורות המטריצה A. נסמן <math>CR(A)=span\{C_1R_1(A),...,C_nR_m(A)\}=\subseteq{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteqleq\mathbb{F}^n</math>*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>

הגדרה: '''דרגת''' המטריצה <math>A שווה למספר השורות בצורה המדורגת שלה השונות מאפס. מסומן rankA=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)</math> אזי

משפט: 1. <math>rankA=dimRC(A)=dimCspan\{\left(A\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=n-dimN,\left(A\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\}</math>. אלה שווים למספר המשתנים התלויים, ומימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

'''דוגמא3.'''מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>N(A)=\{\left(\begin{pmatrixarray}1 & {c}0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2t\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrixarray}\right)\}</math>

=== מרחב השורות ===תרגיל: תהא <math>A\beginin\mathbb{pmatrixF}1 & 0 & 1 & 1^{m\times n}</math> ותהא <math>E\ 0 & 1 & -1 & 0 in\\ 0 & 0 & 0 & 0\endmathbb{pmatrixF}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את <math>A</math>).

לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה הוכח <math>R(-t-s,t,t,sA)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t=R(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1EA)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות: *אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס

===אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה===#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה<math>\supseteq</math>)#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר יהא <math>(כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנוניתEA), מהוות בסיס למרחב העמודה#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים#מצא את הפתרון הכללי#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים#'''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס למרחב האפס^{t}x\in R(EA)</math> אזי

'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות<math>\subseteq</math>) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.יהא <math>A^{t}x\in R(A)</math> אזי

<math>A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x=(EA)^tE^{-t}x =סיכום בנושא (EA)^ty \in R(EA)</math> מסקנה: בפרט אם <math>E</math> מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את <math>A</math> לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית. תרגיל/דוגמא:  תהא <math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>מצא את <math>R(A)</math>. פתרון: <math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>.  כיוון שמרחב השורות של <math>A</math> שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש <math>R(A)=span\{\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c}a\\2a+b\\3a\\4a+b\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}</math> ==== יישום: השלמה לבסיס ====ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.  דוגמא: השלם את <math>\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\}</math> לבסיס. נדרג <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} </math> ומכאן רואים כי  <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו  <math>\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}</math> נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס === מרחב העמודות ===את מרחב העמודות ניתן למצוא כמו את מרחב השורות ע"י מעבר ל <math>A^{t}</math>. נראה ע"י דוגמא עוד דרך: דוגמא: מצא את מרחב העמודות של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>  פתרון: אחרי דירוג קיבלנו<math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> ניתן להוכיח את הטענה: מרחב העמודות נפרש ע"י העמודות במטריצה המקורית שמתאימות לעמודות ציר.  אצלנו בדוגמא שעמודות הציר הן עמודות מספר 1 ו - 2 נקבל כי מרחב העמודות הוא <math>C(A)=span\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)\}</math> שימו לב שזה לא שווה למה שנפרש ע"י עמודות הציר של המטריצה המדורגת (כלומר מרחב העמודות "מתקלקל" בדירוג): <math>C(A)\not= span\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)\}</math>כי <math>\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\notin span\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right) </math> תרגיל: נסו להוכיח את הטענה שהשתמשנו בה בתרגיל. טענה: מרחב העמודות <math>C(A)=span \{C_{i_1}(A),\dots C_{i_r}(A)\}</math> כאשר <math>i_1,\dots i_r</math> אלו עמודות הציר במטריצה המדורגת. הדרכה: השתמשו בעבודה <math>E</math> המטריצה המדרגת הפיכה ולכן בתליות ופרישה של עמודות לא מתקלקלים... (ניסוח לא פורמאלי)  '''משפט:''' <math>dim[R(A)]=dim[C(A)]</math> '''הגדרה:''' הדרגה של <math>A</math> מוגדרת להיות <math>rank(A)=dim[R(A)]</math> ====אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה==== תהי <math>A </math> מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):

כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור מטריצות)  עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math>  זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי ====תרגיל==== יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות  הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math> הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות. בנוסף <math>C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math>כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי <math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math>מקבלים ש <math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math> ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>. באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math> (בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>) מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math> הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math> === מרחב האפס ===תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה. הוכח <math>N(A)=N(EA)</math>. פתרון:  (<math>\supseteq</math>) יהא <math>x\in N(EA)</math> אזי <math>EAx=0</math> נכפיל ב <math>E^{-1}</math> משמאל ונקבל <math>Ax=0</math> כלומר <math>x\in N(A)</math> (<math>\subseteq</math>) יהא <math>x\in N(A)</math> אזי <math>Ax=0</math> נכפיל ב <math>E</math> משמאל ונקבל <math>EAx=0</math> כלומר <math>x\in N(EA)</math> אם ניקח <math>E</math> להיות המטריצה שמדרגת את <math>A</math> נקבל את  '''מסקנה:''' דירוג אל מקלקל את מרחב האפס. תרגיל: מצא את מרחב האפס של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>. פתרון: אחרי דירוג קיבלנו<math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>ולכן מרחב האפס הוא (<math>z=t,w=s</math>)  <math>N(A)=\{\left(\begin{array}{c}-2s-3t\\-s\\t\\s\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\; | \; t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}</math>. ====דוגמא נוספת====מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל  <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(-t-s,t,t,s)</math>. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: <math>t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1)</math>. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות: *אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)*וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס לכן הבסיס למרחב האפס הינו <math>\{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\}</math> === מרחב האפס השמאלי === תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>  פתרון: צ"ל <math>N(A^{t})</math>. נדרג את <math>A^{t}</math> <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\3 & 0 & 3\\4 & 1 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> עבור <math>z=t</math> נקבל <math>N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c}-t\\-t\\t\end{array}\right)\; | \; t\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> ===סיכום: אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה <math>Cׂ(A),R(A),N(A)</math>===#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים ומצא את הפתרון הכללי למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. ('''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס )  '''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת. ===תרגילים======= תרגיל ====תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר. תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math>בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה)) באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> מתקיים <math>\mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A)</math>

נניח וקיים יהא <math>v ששייך למרחב הפתרונות וגם למרחב השורות\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exists w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math> כעת לפי משפט המימדים מתקיים  <math>\dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n</math> כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים. מכיוון שהוא שייך למרחב השורות '''הערה:'''כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן להפעיל פעולות שורה ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math> לדוגמא עבור<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math> מצאנו כי  <math>B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right)\}, \\B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math>  לפי המשפט <math>\{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}</math>בסיס ל <math>\mathbb{R}^{4}</math>ו <math>\{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math>בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math> ====שאלה====מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג? =====תשובה=====ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה. כעת, לשאלה עצמה: השאלה היא תמיד מה רוצים לבדוק. 1. אם רוצים לבדוק אם יש תלות בין הוקטורים - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז פתרון לא טריוויאלי למערכת הנוצרת נותן לנות את הצ"ל השווה 0. לכן אם יש לנו מספר וקטורים כמימד המרחב ואנחנו רוצים לבדוק אם הם בת"ל (ובגלל זה בסיס) כדאי לשים בעמודות. 2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס. 3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים בעמודות, בתוספת לעמודות המהוות בסיס של המרחב המבוקש. ואז מכיון שעמודות אלה בת"ל, נקבל שיהיה איבר מוביל בעמודות המתאימות במדורגת, וגם נדע אילו וקטורים להוסיף - המתאימים לעמודות עם מוביל במדורגת. ==== תרגיל ====השלימו את קבוצת הוקטורים (נתון שהם בת"ל) הבאה<math>\left\{ \left(\begin{array}{c}1+i\\1\\3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1-i\\2+i\\5\end{array}\right)\right\}</math> לבסיס של <math>\mathbb{C}^{4}</math> ==== תרגיל====הוכיחו (בצורה פשוטה): כל מטריצה לא ריבועית אינה הפיכה.  ==== תרגיל ====תהא <math>A\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> נגדיר<math>B=\left(\begin{array}{c}A\\A\end{array}\right) ו C=\left(\begin{array}{c}A\\A^{t}\end{array}\right)</math> . הוכיחו/הפריכו: 1.לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} B</math> 2. לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} C</math> 3. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank} C=2\text{rank} A</math>  4. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank}C>2\text{rank} A</math> ==== תרגיל ==== תהא A ריבועית מסדר n כך שאחת משורותיה תהפוך להיות vש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math> פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש. ==== תרגיל ==== תרגיל. יהיו <math>A, בלי הגבלת הכלליות B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math> הוכחה: נניח בשלילה כי <math>AB=0</math>כלומר לכל <math>i</math> מתקיים <math>C_i(AB)=AC_{i}(B)=0</math> ומכאן ש <math>\forall i C_i(B)\in N(A)</math> ולכן <math>C(B)\subseteq N(A)</math> <math> rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A))\Leftarrow</math>ואז <math> rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n\Leftarrow</math>סתירה לנתון. ==== תרגיל ====  תהא זו השונה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n} , B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math>. הוכח שאם עמודות <math>AB</math> בת"ל אז גם עמודות <math>B</math> בת"ל הוכחה: מהנתון <math>rank (AB)= p</math> ואז <math>p = rank (AB)\leq rank B \leq p</math> ומכאן ש <math> rankB=p</math> כלומר עמודות B בת"ל ==== תרגיל ====  תהא <math>A= \begin{pmatrix}1 & 1 & * \\1 & * & 1 \\* & 1 & * \\\end{pmatrix}</math> נניח כי למערכת <math>Ax=0</math> יש 2 פתרונות בת"ל. מצא את <math>A</math> פתרון: מהנתון נקבל כי <math>\dim N(A)\geq 2</math> כיוון ש <math>A\neq 0</math> נקבל כי <math>\dim N(A)= 2</math> לפי משפט הדרגה נקבל כי <math>rank(A)=1</math> כלומר כל העמודות ת"ל בראשונה (כי אין עמודת אפסים). לכן העמודה השניה היא כפולה של העמודה הראשנה וכן העמודה השלישית היא כפולה של העמודה הראשונה.מצורת המטריצה נקבל כי בעצם העמודה השניה שווה לעמודה הראשונה וכן השלישית ולכן <math>A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\\end{pmatrix}</math> ==== תרגיל ====יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)</math> פתרון:מתקיים כי <math>C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)</math> ולפי משפט המימדים <math> dim[C(A)+C(B)]\leq dimC(A)+ dimC(B)</math> ==== תרגיל ====יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A-B) \geq |rank(A)-rank(B)|</math> פתרון: מצד אחד <math>rank(A-B) \geq rank(A)-rank(B)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(A)=rank(A-B+B)\leq rank(A-B)+rank(B)</math> ונעביר אגף

מכיוון ש-v במרחב הפתרונות של מצד שני <math>rank(A, הוא גם במרחב הפתרונות של המטריצה לאחרת פעולות השורה -B, ומתקיים ) \geq rank(B)-rank(A)</math>Bvכי לפי תרגיל קודם <math>rank(B)=0rank(B-A+A)\leq rank(B-A)+rank(A)</math>. אבל האיבר הראשון במכפלה שווה לונעביר אגף + נציין (כדאי להוכיח) כי <math>0=R_1rank(AM)v=v^tvrank(-M)</math> וכפי שלמדנו זהו סכום ריבועים שמתאפס ולכן v=0 כפי שרצינו.