שינויים
/* תשובה */
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>
\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}
</math>
==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.
דוגמא:
השלם את <math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>
לבסיס.
נדרג
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
</math>
ומכאן רואים כי
<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו
<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
</math>
נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס
=== מרחב העמודות ===
*מספר עמודות הציר
*מספר המשתנים התלויים
המספרים הבאים שווים:
*מספר המשתנים החופשיים
*מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית
מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.
כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור מטריצות) עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math>מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math> זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי ====תרגיל==== יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p}</math> מטריצות הוכח: <math>rank(AB)\leq rank(A),rank(B)</math> הוכחה: ש"ל <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>נסמן <math>\{a_{1},\dots,a_{l}\}</math> בסיס למרחב העמודות. בנוסף <math>C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}</math>כיוון שלכל <math>i</math> מתקיים כי <math>AC_{i}(B)</math> הוא צ"ל של עמודות <math>A</math>מקבלים ש <math>C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A)</math> ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>. באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math> (בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>) מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math> הוכחה: <math>rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A)</math>
=== מרחב האפס ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה. הוכח <math>N(A)=N(EA)</math>. פתרון: (<math>\supseteq</math>) יהא <math>x\in N(EA)</math> אזי <math>EAx=0</math> נכפיל ב <math>E^{-1}</math> משמאל ונקבל <math>Ax=0</math> כלומר <math>x\in N(A)</math> (<math>\subseteq</math>) יהא <math>x\in N(A)</math> אזי <math>Ax=0</math> נכפיל ב <math>E</math> משמאל ונקבל <math>EAx=0</math> כלומר <math>x\in N(EA)</math> אם ניקח <math>E</math> להיות המטריצה שמדרגת את <math>A</math> נקבל את '''דוגמא.מסקנה:'''דירוג אל מקלקל את מרחב האפס. תרגיל: מצא את מרחב האפס של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>. פתרון: אחרי דירוג קיבלנו<math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>ולכן מרחב האפס הוא (<math>z=t,w=s</math>) <math>N(A)=\{\left(\begin{array}{c}-2s-3t\\-s\\t\\s\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\; | \; t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}</math>. ====דוגמא נוספת====
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
=== מרחב האפס השמאלי ===
תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math> פתרון: צ"ל <math>N(A^{t})</math>. נדרג את <math>A^{t}</math> <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\3 & 0 & 3\\4 & 1 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> עבור <math>z=t</math> נקבל <math>N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c}-t\\-t\\t\end{array}\right)\; | \; t\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> ===סיכום: אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה <math>Cׂ(A),R(A),N(A)</math>===
#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה
#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים#מצא ומצא את הפתרון הכללי#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים#למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. ('''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס למרחב האפס)
'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.
===תרגילים===
==== תרגיל ====
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.
תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))
'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.