תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>
\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}
</math>
==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.
דוגמא:
השלם את <math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>
לבסיס.
נדרג
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
</math>
ומכאן רואים כי
<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו
<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
</math>
נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס
=== מרחב העמודות ===
'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.
===תרגילים=======תרגיל.====
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.
תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cap cup B_N</math> '
בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.
יהא <math>v\in R(A)\cap N(A)</math> אזי <math>\exsits exists w : A^tw=v, Av=0 </math> ולכן <math>AA^tw=0</math> נכפיל ב <math>w^t</math> משמאל
ונקבל כי <math>0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv</math> זה גורר כי <math>v=0</math> (זיכרו כי במקרה הממשי <math>v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2</math>
כיוון ש <math>R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n</math> מאותו מימד נקבל כי הם שווים.
<math>'''הערה:</math>'''
כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי <math>\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t)</math>
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 3 & 3 & 5
\end{array}\right)</math> . מצאנו כי
----<math>B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\} , \\
B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
-1\\
1
\end{array}\right)\}</math>
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{4}</math>
ו
<math>\{\left(\begin{array}{c}
1
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math> ====שאלה====מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג? =====תשובה=====ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה. כעת, לשאלה עצמה: השאלה היא תמיד מה רוצים לבדוק. 1. אם רוצים לבדוק אם יש תלות בין הוקטורים - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז פתרון לא טריוויאלי למערכת הנוצרת נותן לנות את הצ"ל השווה 0. לכן אם יש לנו מספר וקטורים כמימד המרחב ואנחנו רוצים לבדוק אם הם בת"ל (ובגלל זה בסיס) כדאי לשים בעמודות. 2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס. 3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים בעמודות, בתוספת לעמודות המהוות בסיס של המרחב המבוקש. ואז מכיון שעמודות אלה בת"ל, נקבל שיהיה איבר מוביל בעמודות המתאימות במדורגת, וגם נדע אילו וקטורים להוסיף - המתאימים לעמודות עם מוביל במדורגת. ==== תרגיל ====השלימו את קבוצת הוקטורים (נתון שהם בת"ל) הבאה<math>\left\{ \left(\begin{array}{c}1+i\\1\\3\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\1-i\\2+i\\5\end{array}\right)\right\}</math> לבסיס של <math>\mathbb{C}^{4}</math> ==== תרגיל====הוכיחו (בצורה פשוטה): כל מטריצה לא ריבועית אינה הפיכה. ==== תרגיל ====תהא <math>A\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> נגדיר<math>B=\left(\begin{array}{c}A\\A\end{array}\right) ו C=\left(\begin{array}{c}A\\A^{t}\end{array}\right)</math> . הוכיחו/הפריכו: 1.לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} B</math> 2. לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} C</math> 3. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank} C=2\text{rank} A</math> 4. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank}C>2\text{rank} A</math> ==== תרגיל ==== תהא A ריבועית מסדר n כך ש <math>A^2=0</math> הוכיחו כי <math>rank(A)\leq n/2</math> פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש. ==== תרגיל ==== תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math> הוכחה: נניח בשלילה כי <math>AB=0</math>כלומר לכל <math>i</math> מתקיים <math>C_i(AB)=AC_{i}(B)=0</math> ומכאן ש <math>\forall i C_i(B)\in N(A)</math> ולכן <math>C(B)\subseteq N(A)</math> <math> rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A))\Leftarrow</math>ואז <math> rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n\Leftarrow</math>סתירה לנתון. ==== תרגיל ==== תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n} , B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math>. הוכח שאם עמודות <math>AB</math> בת"ל אז גם עמודות <math>B</math> בת"ל הוכחה: מהנתון <math>rank (AB)= p</math> ואז <math>p = rank (AB)\leq rank B \leq p</math> ומכאן ש <math> rankB=p</math> כלומר עמודות B בת"ל ==== תרגיל ==== תהא <math>A= \begin{pmatrix}1 & 1 & * \\1 & * & 1 \\* & 1 & * \\\end{pmatrix}</math> נניח כי למערכת <math>Ax=0</math> יש 2 פתרונות בת"ל. מצא את <math>A</math> פתרון: מהנתון נקבל כי <math>\dim N(A)\geq 2</math> כיוון ש <math>A\neq 0</math> נקבל כי <math>\dim N(A)= 2</math> לפי משפט הדרגה נקבל כי <math>rank(A)=1</math> כלומר כל העמודות ת"ל בראשונה (כי אין עמודת אפסים). לכן העמודה השניה היא כפולה של העמודה הראשנה וכן העמודה השלישית היא כפולה של העמודה הראשונה. מצורת המטריצה נקבל כי בעצם העמודה השניה שווה לעמודה הראשונה וכן השלישית ולכן <math>A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\\end{pmatrix}</math> ==== תרגיל ====יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)</math> פתרון:מתקיים כי <math>C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)</math> ולפי משפט המימדים <math> dim[C(A)+C(B)]\leq dimC(A)+ dimC(B)</math> ==== תרגיל ====יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A-B) \geq |rank(A)-rank(B)|</math> פתרון: מצד אחד <math>rank(A-B) \geq rank(A)-rank(B)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(A)=rank(A-B+B)\leq rank(A-B)+rank(B)</math> ונעביר אגף מצד שני <math>rank(A-B) \geq rank(B)-rank(A)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(B)=rank(B-A+A)\leq rank(B-A)+rank(A)</math> ונעביר אגף + נציין (כדאי להוכיח) כי <math>rank(M)=rank(-M)</math>
