שינויים
/* תשובה */
\end{array}\right)\}</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^{3}</math>
====שאלה====
מתי כדאי לשים וקטורים בעמודות מטריצה ולדרג, ומתי כדאי לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג?
=====תשובה=====
ראשית, הכוונה כמובן שלא שמים את הוקטורים בשורות/עמודות, אלא את הקואורדינטות, אבל נזרום עם זה.
כעת, לשאלה עצמה: השאלה היא תמיד מה רוצים לבדוק.
1. אם רוצים לבדוק אם יש תלות בין הוקטורים - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז פתרון לא טריוויאלי למערכת הנוצרת נותן לנות את הצ"ל השווה 0. לכן אם יש לנו מספר וקטורים כמימד המרחב ואנחנו רוצים לבדוק אם הם בת"ל (ובגלל זה בסיס) כדאי לשים בעמודות.
2. אם נתונים לנו מספר וקטורים שפורשים מרחב כלשהו, ואנחנו מחפשים מתוכם בסיס (ורוצים לזרוק את הוקטורים התלויים) - אז אמליץ לשים בעמודות. כי אז נוכל לקחת את הוקטוריים המקוריים המתאימים לעמודות ציר בצורה המדורגת של המטריצה שבנינו, והם מהווים בסיס.
3. אם נתונים לנו מס' וקטורים בת"ל ואנחנו רוצים להוסיף עליהם כדי להגיע לבסיס של מרחב כלשהו - אז אמליץ לשים בעמודות, בתוספת לעמודות המהוות בסיס של המרחב המבוקש. ואז מכיון שעמודות אלה בת"ל, נקבל שיהיה איבר מוביל בעמודות המתאימות במדורגת, וגם נדע אילו וקטורים להוסיף - המתאימים לעמודות עם מוביל במדורגת.
==== תרגיל ====
השלימו את קבוצת הוקטורים (נתון שהם בת"ל) הבאה
<math>\left\{ \left(\begin{array}{c}
1+i\\
1\\
3\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1-i\\
2+i\\
5
\end{array}\right)\right\}</math> לבסיס של <math>\mathbb{C}^{4}</math>
==== תרגיל====
הוכיחו (בצורה פשוטה): כל מטריצה לא ריבועית אינה הפיכה.
==== תרגיל ====
תהא <math>A\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> נגדיר
<math>B=\left(\begin{array}{c}
A\\
A
\end{array}\right) ו C=\left(\begin{array}{c}
A\\
A^{t}
\end{array}\right)</math> .
הוכיחו/הפריכו:
1.לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} B</math>
2. לכל <math>A</math> מתקיים <math>\text{rank} A=\text{rank} C</math>
3. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank} C=2\text{rank} A</math>
4. קיימת <math>A</math> שעבור <math>\text{rank}C>2\text{rank} A</math>
==== תרגיל ====
פתרון: מהנתון נקבל כי כל עמודה של A נמצאת במרחב האפס של A ולכן מרחב העמודות מוכל ב מרחב האפס <math>2rank(A)\leq \dim N(A)+\dim C(A)=n </math>. נחלק ב 2 ונקבל את המבוקש.
==== תרגיל ====
תרגיל. יהיו <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש <math>rank(A)+rank(B)>n</math>. הוכח <math>AB\not=0</math>
\end{pmatrix}
</math>
==== תרגיל ====
יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)</math>
פתרון:
מתקיים כי <math>C(A+B)\subseteq C(A)+C(B)</math> ולפי משפט המימדים <math> dim[C(A)+C(B)]\leq dimC(A)+ dimC(B)</math>
==== תרגיל ====
יהיו <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצות. הוכיחו כי <math>rank(A-B) \geq |rank(A)-rank(B)|</math>
פתרון: מצד אחד <math>rank(A-B) \geq rank(A)-rank(B)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(A)=rank(A-B+B)\leq rank(A-B)+rank(B)</math> ונעביר אגף
מצד שני <math>rank(A-B) \geq rank(B)-rank(A)</math> כי לפי תרגיל קודם <math>rank(B)=rank(B-A+A)\leq rank(B-A)+rank(A)</math> ונעביר אגף + נציין (כדאי להוכיח) כי <math>rank(M)=rank(-M)</math>
