העתקות לינאריות (הע"ל)

הגדרה: יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$ . פונקציה $T:V\to W$ היא הע"ל אם

$\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$
$\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)$

(או באופן שקול: אם לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים $T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})$ )

תכונות בסיסיות:

.1 $T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})$

.2 $T(0_{V})=0_{W}$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ שניהם מעל $\mathbb{F}$ . תהא $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ היא הע"ל.

הוכחה: לכל $v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים

$L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})$

2.ההעתקה $trace:\mathbb{F}^{n\times n}\to \mathbb{F}$ המגודרת $A\mapsto tr(A)$ היא הע"ל.

הוכחה: לכל $\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}$

$tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B)$

3. ההעתקה $D:\mathbb{R}_{n}[x]\to \mathbb{R}_{n-1}[x]$ המגודרת $p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)$ היא הע"ל.

הוכחה:

$D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)]$

4. העתקת הזהות $I:V\to V$ המוגדרת $v\mapsto v$ היא הע"ל.

5. העתקת האפס $0:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto 0$ היא הע"ל.

6. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס אזי הפונקציה $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$ היא הע"ל.

דוגמאות נגדיות

1. יהיו $V=\mathbb{R}^{2}=W$ . אזי העתקה $f:V\to W$ המוגדרת $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v$ אינה הע"ל.

כי למשל

$f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$

שלא שווה ל

$3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

תרגיל

יהיו $T,S:V\to W$ שתי הע"ל. $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$ . נניח $T(v_{i})=S(v_{i})$ לכל $1\leq i\leq n$

הוכח: $T=S$ . כלומר לכל $v\in V$ מתקיים $T(v)=S(v)$

הוכחה: יהי $v\in V$ אזי $v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}$ כי $B$ בסיס ובפרט פורשת. ואז

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)

משפט ההגדרה

יהיו $V,W$ שני מ"ו מעל $\mathbb{F}$ . יהי $B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ בסיס ל $V$ ויהיו $w_{1},\dots,w_{n}\in W$ וקטורים כלשהם.

אזי קימת הע"ל יחידה $T:V\to W$ כך ש $T(v_{i})=w_{i}$ לכל $i$

מסקנה ניתן להגדיר הע"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V

דוגמאות

דוגמא 1

$V=\mathbb{R}_{2}[x]$ מצא את ההע"ל $T:V\to V$ המקימת $T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1$ . כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן $T$ שולחת פולינום כללי $a+bx+cx^{2}$

פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x

דוגמא 2

יהיו $v_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3$

עוד יהיו

$w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, w_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, w_3= \begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$

האם קיימת הע"ל $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ המקיימת $Tv_i=w_i$ לכל $i$ ?

פתרון:

אם $v_1,v_2,v_3$ היו בסיס אז לפי משפט ההגדרה היתה ה"ל כנדרש אבל...

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

מפתרון המערכת רואים שהוקטורים ת"ל ומתקיים $v_3= 3v_1-2v_2$

לכן גם אם נפעיל את הע"ל על שני האגפים נקבל שיוון, כלומר

$w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2$

ולכן הדרישה כי $Tv_3=w_3$ מתקבלת "בחינם" ולכן אפשר לוותר עליה.. כעת, ניתן להשלים את $v_1,v_2$ לבסיס $v_1,v_2,v$ ולהגדיר $Tv_i=w_i, Tv=0$ / לפי משפט ההגדרה, אכן הגדרנו ה"ל. לפי ההגדרה שהגדנו היא מקיימת את תנאי השאלה.

מה היה קורה אם היינו מחליפים את $v_1,v_2,v_3$ להיות

$u_1=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, u_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, u_3= \begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3$ ? האם קיימת הע"ל $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ המקיימת $Tu_i=w_i$ לכל $i$ ?

מה היה קורה אם היינו מחליפים ומגדירים $w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$ ?

תשובה: לא היינו יכולים להגדיר הע"ל כנדרש בשאלה כי מתקיים ש $v_3= 3v_1-2v_2$ ואם מתקיים $Tv_1=w_1,Tv_2=w_2$ אזי בהכרח $Tv_3$ צריך להיות מוגדר לפי הקשר $w_3=Tv_3= T(3v_1-2v_2)=3Tv_1-2Tv_2= 3w_1-2w_2$ שלא מתקיים עבור $w_3= \begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$

גרעין, תמונה ודרגה

תהא $T:V\to W$ הע"ל.

הגרעין של $T$ מוגדר $\ker T=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\leq V$
התמונה של $T$ מוגדרת $ImT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\leq W$
הדרגה של $T$ מוגדרת $rank(T)=dim(ImT)$

דוגמאות

1. יהיו $V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}$ . תהא $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ ונסתכל על העתקה $L_{A}:V\to W$ המוגדרת $v\mapsto Av$ . אזי

$kerT=N(A)$
$ImT=C(A)$
$rankT=rankA$

2. יהי $V$ מ"ו מעל $\mathbb{F}$ מימד $n$ ויהי $B$ בסיס והעל הלינארית $T:V\to \mathbb{F}^n$ המוגדרת $v\mapsto [v]_B$ .

אזי

$kerT=\{0\}$
$ImT=\mathbb{F}^n$

תרגיל

תהא $T:V\to V$ הע"ל. הוכח

$KerT \subseteq KerT^2$
$ImT^2 \subseteq ImT$

פתרון:

יהא $v\in KerT$ אזי $Tv=0$ ולכן $T^2v=T(Tv))=T0=0$ . כלומר $v\in KerT^2$
יהא $v\in ImT^2$ אזי $\exists w: T^2w=v$ ולכן $T(Tw)=T^2w=v$ . כלומר $v\in ImT$

משפט

תהא $T:V\to W$ הע"ל.

אזי $T$ חח"ע $\Leftrightarrow$ מתקיים כי $kerT=\{0\}$

תרגיל:

תהא $T:V\to W$ הע"ל. ויהיו $\{v_1,\dots, v_n\}$ וקטורים ב $V$ אזי

אם $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל אז $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל
אם $T$ חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם $\{v_1,\dots, v_n\}$ בת"ל אז $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$

הוכחה

נניח $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$ . נפעיל $T$ על שני האגפים ונקבל מלינאריות של $T$ כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0$ . כיוון שנתון ש $\{Tv_1,\dots, Tv_n\}$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.
נניח כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iTv_i = 0$ . מלינאריות נקבל כי $T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0$ כיוון ש $T$ חח"ע נקבל כי $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$ . כיוון ש $\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0$ בת"ל נקבל כי $\forall i \alpha_i=0$ כנדרש.

תרגיל

$V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}$ האם קימת $T:V\to W$ ה"ל חח"ע?

פתרון: נניח בשלילה כי $T$ חח"ע אזי כיוון ש $1,x,x^2$ בתל גם $T(1),T(x),T(x^2)$ בת"ל אבל $T(1),T(x),T(x^2)$ שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.

תרגיל

$V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4}$ האם קימת $T:V\to W$ ה"ל על?

פתרון: נניח בשלילה כי $T$ על אזי יש מקור ל $e_1,e_2,e_3,e_4$ . נסמן את המקורות ב $v_i$ כלומר $Tv_i=e_i$ . כיוון ש $e_1,e_2,e_3,e_4$ בת"ל גם $v_1,v_2,v_3,v_4$ בת"ל אבל $v_1,v_2,v_3,v_4$ שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.

תרגיל

תהא $T:V\to W$ ה"ל. תהא $A\subseteq V$ תת קבוצה. אזי $T(span(A))=spanT(A)$

הוכחה:

( $\subseteq$ ) יהא $v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i$ צ"ל באיברי $A$ אזי $Tv\in T(span(A))$ הוא איבר כללי.

כעת $Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i$ שזה צ"ל באיברי $T(A)$ ולכן שייך ל $spanT(A)$

( $\supseteq$ ) יהא צ"ל באיברי $T(A)$ אזי הוא מהצורה $\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i$ כאשר $v_i\in A$

מלינאריות נקבל כי $T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A))$

מסקנה: לכל תת מרחב $W\leq V$ מתקיים כי $T(W)$ תת מרחב.

תרגיל

יהיו $V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2}$ והמישור $U=\{ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right): x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V$

מצא ה"ל $T:V\to W$ כך ש $kerT=U$ וגם $ImT=span(\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\})$

פתרון

נשלים לבסיס ל V בעזרת $\{ v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \}$

לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר $T$ בעזרת הבסיס.

נגדיר $Tv_1=Tv_2 = 0, Tv_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$

ואז $T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\}$ ולכן $U\subseteq kerT$

בכיוון השני, יהיה $v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT$ אזי $0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$ ולכן $\alpha_3=0$ ואז $v\in U$

בנוסף, באופן דומה,

$ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} = span \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$

כנדרש.

תרגיל

תהא $T:V\to V$ הע"ל, $W\leq V$ ת"מ. נתון כי $W\cap KerT=0$ . הוכח כי $\dim W = \dim T(W)$

הוכחה:

נסתכל על ה"ל $T_W:W\to V$ אזי מתקיים כי $KerT_W = W\cap kerT=0$ ולכן $T_W$ חח"ע. אם נבחר בסיס $B$ ל - $W$ , אזי $T(B)$ גם כן בסיס

ואז $\dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W)$

משפט הדרגה

תהא $T:V\to W$ הע"ל. אזי $\dim ImT+\dim KerT=dimV$

הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה $A\in \mathbb{F}^{m\times n}$ ומשפט $\dim C(A)+\dim N(A)=n$ (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)

תרגיל

נסתכל על ה"ל $T:\mathbb{F}^{n\times n} \to \mathbb{F}$ המוגדרת $T(A)=tr(A)$ מצא בסיס לגרעין העתקה.

פתרון:

$T$ היא על כי לכל $a\in \mathbb{F}$ יש מקור. למשל $a\cdot E_{1,1}$ . לכן $\dim ImT= \dim \mathbb{F} =1$ ממשפט הדרגה נסיק כי $\dim KerT=dimV-\dim ImT=n^2 -1$

כעת לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא $n^2-1$ מטריצות בת"ל ששיכות לגרעין ואז הם יהיו בסיס.

למשל המטריצות $\{E_{i.j} \; | \; i\neq j\} \cup \{E_{1,1}-E_{i,i} \; | \; 2\leq i \leq n\}$

בקבוצה זאת יש אכן $(n^2-n)+(n-1)=n^2-1$ מטריצות בת"ל

תרגיל

תהא $T:V\to V$ הע"ל. הוכח שהבאים שקולים:

1. $KerT = KerT^2$ .

2. $ImT^2 = ImT$ .

3. $V=KerT\oplus ImT$ .

פתרון:

ממשפט הדרגה מתקיים (פעם אחת עבור $T$ ופעם אחת עבור $T^2$ כי

$\dim ImT+\dim KerT=dimV=\dim ImT^2+\dim KerT^2$

ולכן $\dim ImT=\dim ImT^2$ אמ"מ $\dim KerT=\dim KerT^2$

אם $\dim ImT=\dim ImT^2$ אזי $ImT= ImT^2$ (ראינו $ImT^2 \subseteq ImT$ , אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)

אם $\dim KerT=\dim KerT^2$ אזי $ImT= ImT^2$ (ראינו $KerT \subseteq KerT^2$ , אם תת מרחב מוכל בתת מרחב אחר מאותו מימד אז הוא שווה לו)

ולכן 1. ו 2. שקולים.

נשאר להוכיח שקילות בין 1. ל 3.

$3 \Leftarrow 1$

נראה כי הסכום ישר: יהא $v\in KerT\cap ImT$ אזי $(\exists w: Tw=v)\land Tv=0$ ואז $T^2w=Tv=0$ ולכן $w\in KerT^2=KerT$ ומכאן ש $v=Tw=0$ כנדרש.

סכום: לפי משפט המימדים ומשפט הדרגה נקבל כי $\dim (KerT+ ImT)= \dim KerT + \dim ImT - \dim (KerT\cap ImT)=\dim KerT + \dim ImT= \dim V$ .

כיוון ש $KerT+ ImT\subseteq V$ מאותו מימד נקבל שיוויון

$3 \Rightarrow 1$

מ"ל כי $KerT^2 \subseteq KerT$ . יהא $v\in KerT^2$ אזי מצד אחד $Tv\in KerT$ ומצד שני (לפי הגדרה) $Tv\in ImT$

לכן $Tv\in KerT\cap ImT=\{0\}$ ולכן $Tv=0$ כלומר $v\in KerT$ כנדרש

הפיכות ואיזמורפיזם

ה"ל $T:V\to W$ היא הפיכה אם יש הע"ל $S:W\to V$ כך ש: $ST=Id_V,TS=Id_W$ . במקרה זה מסמנים $T^{-1}=S$

משפט

$T$ הפיכה אמ"מ $T$ חח"ע ועל

(שימו לב שידוע שפונקציה חח"ע ועל היא הפיכה כפונקציה. המשפט אומר שבמקרה זה הפונקציה היא הע"ל)

תכונות

אם $T$ הפיכה אז גם ההופכית ומתקיים $(T^{-1})^{-1}=T$
יהיו $T,S:V\to V$ שתי הע"ל אזי $T,S$ הפיכות אמ"מ ההרכבה $ST$ הפיכה. במקרה זה מתקיים $(ST)^{-1} =T^{-1}S^{-1}$
אם ה"ל $L_A(v)=Av$ הפיכה אז ההופכית היא $L_{A^{-1}}$

איזומורפיזם

הגדרה הע"ל $T:V\to W$ תקרא

מונומורפיזם אם $T$ חח"ע
אפימורפיזם אם $T$ על
איזומורפיזם אם $T$ חח"ע ועל (כלומר הפיכה). במקרה זה נאמר ש $V$ ו $W$ איזומורפים ונסמן $V\cong W$

הערה: $\cong$ מתנהג כמו יחס שקילות. כלומר

$\forall V : V\cong V$
$V\cong W \Rightarrow W\cong V$
$V_1\cong V_2 \land V_2 \cong V_3 \Rightarrow V_1\cong V_3$

הערה 2 מרחבים איזומורפים בעצם אומר שהם "אותו דבר" במובן מסוים. יש להם אותו מבנה במובן שאם "נטשטש" את זהות האיברים ונסתכל רק על המבנה (למשל שחיבור של שני וקטורים מסוימים שווה וקטור מסוים אחר) אז נראה אותו דבר בשני המרחבים.

דוגמא: $T:\mathbb{F}^{m\times n} \to \mathbb{F}^{n\times m}$ המוגדרת $T(A)=A^t$ היא איזומורפיזם.

משפט

יהיו $V,W$ שני מרחבים וקטורים. אזי

$V\cong W \iff \dim V = \dim W$

"הוכחה"

( $\Rightarrow$ ) נבחר בסיס $B$ עבור $V$ . מהנתון, קיימת $T:V\to W$ הפיכה. לכן $|B|=|T(B)|$ ובנוסף, $T(B)$ בסיס ל $W$ . זה אומר שהמימדים שווים.

( $\Leftarrow$ ) נבחר $B=\{v_1,\dots, v_n\}, B'=\{w_1,\dots , w_n\}$ בסיסים. לפי משפט ההגדרה נגדיר $T:V\to W$ ע"י $Tv_i=w_i$ . במקרה זה $T$ הע"ל הפיכה, כלומר המרחבים איזומורפים.