א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4</math> כך שמתקיים <math>Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\}</math>
ב. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3</math> כך ש <math>ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\}</math> וגם <math>Im(T)=span\{(1,2,3)\}</math>
ב. נשלים את הוקטורים הנתונים לבסיס ע"י הוקטור <math>(0,0,1)</math>. נסמן <math>w_1=w_2=0</math> ונסמן <math>w_3=(1,2,3)</math>. נמצא את העתקה במפורש לפי האלגוריתם. ברור שהקבוצה הדרושה מוכלת בגרעין, משיקולי מימד היא שווה לו (כי התמונה ממימד אחד לפחות).
'''תרגיל. (6.16)''' תהי <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math> העתקה לינארית המוגדרת על ידי <math>T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)</math>
א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T
ב. מצא בסיס סדור E ל<math>\mathbb{R}^3</math> כך ש <math>[T]^E_E=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}</math>
'''פתרון.'''
א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:
<math>T(1,0,0)=(1,0,2)</math>
<math>T(0,1,0)=(1,1,0)</math>
<math>T(0,0,1)=(0,1,-2)</math>
ולכן
<math>[T]=[T]^S_S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrix}</math>
מעל הבסיס הסטנדרטי, מרחב הקואורדינטות של תת מרחב U הוא U בעצמו. ולכן גרעין ההעתקה הינו <math>N([T])</math> ותמונת ההעתקה הינה <math>C([A])</math>.
יוצא ש <math>kerT=span\{(1,-1,1)\}</math> ויוצא <math>ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\}</math>
ב. במקרה שלנו, יצא ש <math>kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3</math>. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.
כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.