(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס אחר לבסיס הנתון)
הוכחה:נגדיר <math>B'=\{v'_1,\dots v'_n\}</math> ע"י <math>v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i </math>.
לפי הגדרה מתקיים כי <math>[I]^{B'}_B= A</math>. נותר להוכיח כי אכן <math>B'</math> בסיס.
כיוון ש <math>|B'|=n</math> אזי אם נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל אזי הוא בסיס לפי השלישי חינם.
נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל
נניח כי <math>\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =0</math>. צ"ל כי <math>\forall i \; \alpha_i =0</math>
<math>0=\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i =\sum_{i=1}^n \big( \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} \big) \cdot v_i </math>
כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי לכל <math>ji</math> מתקיים כי <math> \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} =0</math> אבל זה בדיוק הקורדינאטה ה <math>i</math> - ית של הכפל <math>(\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A </math> ולכן <math>(\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A =(0,0,\dots ,0) </math> ע"י הכפלה מימין ב <math>A^{-1}</math> נקבל את הדרוש. בניה: על המטריצות הריבועיות <math>\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר יחס שקילות באופן הבא:<math>A\approx B</math> אם קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>A=P^{-1}BP</math>. יחס זה נקרא "הצמדה". הוכיחו כי זהו אכן יחס שקילות. '''טענה מרכזית''' יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>. תהא <math>T:V\to V</math> ה"ל.ונשתמש בסימון <math>\approx</math> כיחס ההצמדה על המטריצות <math>\mathbb{F}^{n\times n}</math> שהגדרנו לעיל. מתקיים כי* <math>[T]_B \approx [T]_{B'}</math> עבור כל 2 בסיסים <math>B,B'</math>* אם <math>[T]_B \approx A</math> עבור <math>B </math> בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס <math>B'</math> כך ש <math>[T]_{B'}=A</math> במילים- המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחידה עד כדי הצמדה. כלומר אם נייצג את <math>T</math> ע"י 2 בסיסים נקבל מטריצות צמודות ומאידך גיסא אם יש מטריצה <math>A</math> הצמודה לאיזה שהוא מטריצה מייצגת של <math>T</math> אז גם המטריצה <math>A</math> מייצגת את <math>T</math> הוכחה: הטענה הראשונה .
'''תרגיל.''' נגדיר יחס על המטריצות הריבועיות: A נמצאת ביחס עם B (או "A מתייחסת ל-B") אם B הינה המטריצה המייצגת של ההעתקה <math>T_Av:=Av</math> ביחס לבסיס כלשהו. הראו שזהו יחס שקילויות, והוכיחו שפונקציית הtrace מוגדרת היטב על חבורת המנה