שינויים

'''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<math>V,W</math> בהתאמה. נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. אזי '''המטריצה המייצגת''' את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E . מסמנים

'''הערה''': שימו לב שמטריצת מעבר <math>[I]_B^{B'}</math> היא מקרה פרטי של מטריצה מייצגת. היא מייצגת את העתקת הזהות (ומכאן הסימון) <math>I:V\to V</math> כאשר <math>B,B'</math> שני בסיסים של המרחב.    === דוגמא === דוגמא: <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math> E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math> ה"ל בעזרת משפט ההגדרה<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>. מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>  '''פתרון:''' <math>T(1)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>  <math>T(x)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  <math>T(x^{2})=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  ולכן, בסך הכל נקבל<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)</math> '''הערה:''' שימו לב , כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math>(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי) === תרגיל (6.12)=== תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> '''פתרון.''' בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>. עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן <math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math> <math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math> ביחד קיבלנו 4 משוואות: <math>a=-a \Rightarrow a=0</math> <math>-b=-b</math> <math>c=2a+c=c</math> <math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math> לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל. לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b. ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים. === תרגיל ===יהיו <math>V_1, V_2, V_3</math> מרחבים וקטורים עם בסיסים <math>B_1, B_2, B_3</math>בהתאמה.יהיו <math>T:V_1\to V_2 S:V_2\to V_3</math> שתי ה"ל אזי מתקיים <math>[S\circ T]^{B_1}_{B_3}=[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}</math> '''הוכחה''' מ"ל כי לכל <math>v\in V_1 </math> מתקיים <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה) ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי  <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}=[S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> ==== מסקנה ====יהי <math>V</math> מ"ו, יהיו <math>B,B'</math> שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר <math>[I]_B^{B'}</math> הפיכה ומתקיים <math>([I]_B^{B'})^{-1} =[I]_{B'}^{B} </math> (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך") הוכחה: ישירות מתרגיל הקודם, <math>[I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'}^{B} =[I]_{B}^{B} =I </math> ===תרגיל===יהי <math>V</math> מ"ו, <math>B,C</math> בסיסים, <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכיחו או הפריכו: <math>([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B</math>. ====פתרון====ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math>, ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B</math>. === תרגיל ===<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math>E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math>ה"ל באופן הבא (בעזרת משפט ההגדרה)<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>.מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>  '''פתרון:''' <math>T(-1)=\left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)</math>  <math>T(2+x)=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן <math>[T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right)</math>  <math>T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\3\end{array}\right)</math> ולכן, בסופו של דבר,<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\-1 & 2 & 3\end{array}\right)</math> ==== דרך פתרון נוספת ====לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות <math>[I]_F^S,[T]_S^E</math>, כאשר <math>S</math> הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל <math> [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E</math>. המטריצה <math>[T]_S^E</math> קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי <math>S</math> זה קל <math>[T]_S^E = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math> כעת בשביל לחשב את <math>[I]_F^S</math> יש לחשב את ההופכית של <math>[I]_S^F =\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{pmatrix}</math> שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..) <math>[I]_F^S =\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix} </math> נכפיל את המטריצות ואכן נקבל  <math> [T]_F^E= [I]_F^S [T]_S^E = \begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\-1 & 2 & 3\end{pmatrix}</math> === תרגיל חשוב!===תהא <math>T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי<math>T\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\right\}</math> ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה<math>[T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 5 & 6 & 7\\0 & 0 & 8 & x\\0 & 0 & 4 & x\end{array}\right)</math>(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>.  *קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>[T^{10}]_{S}^{S}</math> הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי). *הוכיחו שקיים בסיס <math>D</math> ל <math>\mathbb{R}^{2\times2}</math> כך המטריצה המייצגת מהצורה<math>[T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc}0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\end{array}\right)</math> ויש בנוסף שורת אפסים === תרגיל חשוב! ===יהא <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}</math> את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>. *מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math> * נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math>. מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>.   ** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)</math> ** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & a\end{array}\right)</math> ===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===

===הנה אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת שמכליל את העתקה בין בסיסים כלשהם===הדוגמא הקודמת.

# מצא את מטריצה מטריצת המעבר <math>[I]^F_S</math> (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>BE=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.

#<math>[T][v]=[Tv]</math> מכיוון שכל אלא אלה בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.

'''תרגיל.''' יהיו <math>V=span\{v_1=(1,0,-1,1),v_2=(-2,1,2,0),v_3=(0,-1,0,1)\}</math> ו <math>W=\mathbb{R}_3[x]</math> מ"ו. תהי העתקה T מV לE לW המקיימת <math>\forall i:Tv_i=w_i</math> כאשר

'''====פתרון.'''====דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB מ <math>B=\{v_1,v_2,v_3\}</math> לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.

כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה <math>(\begin{pmatrix}1 & 0 & -s,t,s,r))1 &1 \\-2 & 1 & 2 & 0 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix}</math> ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא <math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.

'''תרגיל. (6.12)'''תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה ===מחלקת שקילות של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_Bמטריצות המייצגות העתקה===\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

'''פתרוןטענה: יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>B=\{v_1,\dots v_n\}</math> בסיס.תהא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> הפיכה. אזי קיים <math>B'</math> בסיס אחר כך ש <math>[I]^{B''}_B= A</math>

(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-dאחר לבסיס הנתון)</math>.

עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיסהוכחה: נגדיר <math>B'=\{v'_1, \dots v'_n\}</math> ע"י <math>v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i </math>. לפי הגדרה מתקיים כי <math>[I]^{B'}_B= A</math>. נותר להוכיח כי אכן <math>B'</math> בסיס.כיוון ש <math>|B'|=n</math> אזי אם נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל אזי הוא בסיס לפי הבסיסהשלישי חינם. לכן

נוכיח כי <math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)B'</math>בת"ל

נניח כי <math>(c,-d)\sum_{j=T(c,d)1}^n \alpha_j v'_j =20</math>. צ"ל כי <math>\cdot (a,b) + 1 forall i \cdot (c,d); \alpha_i =0</math>

<math>a0=-a \Rightarrow asum_{j=0</math> <math>-b1}^n \alpha_j v'_j =-b</math> <math>c\sum_{j=2a+c1}^n \alpha_j \sum_{i=c</math> <math>-d 1}^n A_{i,j}\cdot v_i = 2b+d \Rightarrow dsum_{i=-b</math> לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל. לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b. ניקח <math>(0,1),}^n \big(\sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,-1j} \big)\cdot v_i </math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.

==מציאת גרעין ותמונה בעזרת מטריצה מייצגת=='''הגדרה.''' יהי V מ"ו ויהי U תת מרחב שלו. יהי כיוון ש <math>B בסיס לV. אזי '''מרחב הקואורדינטות''' של U לפי B הינו </math> בת"ל נקבל כי לכל <math>i</math> מתקיים כי <math>[U]_B:=\sum_{[u]_B:u\in Uj=1}^n \alpha_j A_{i,j}=0</math>. כפי שלמדנו העתקת הקואורדינטות הינה איזומורפיזם ולכן בהנתן מרחב קואורדינטות קל למצוא את המרחב המקורי.

'''תרגיל.''' תהי A מטריצה ואבל זה בדיוק הקורדינאטה ה <math>i</math> -f פונקציה המוגדרת על ידי כפל במטריצה fית של הכפל <math>(v\alpha_1,\dots \alpha_n)=Av. מצא את הגרעין ואת התמונה של f.\cdot A </math>

'''פתרון.''' קל לראות שהגרעין הינו ולכן <math>N(\alpha_1,\dots \alpha_n)\cdot A=(0,0,\dots ,0)</math> והתמונה הינה ע"י הכפלה מימין ב <math>C(A)^{-1}</math> (שכן Av הינו צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מv)נקבל את הדרוש.

'''מסקנה.''' תהי T העתקה לינארית מV לW, עם E וF בסיסים בהתאמה. אזי מרחב הקואורדינטות של הגרעין הינו <math>[kerT]_E=\{[v]_Eבניה:Tv=0\}=\{[v]_E:[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E=0\}=N([T]^E_F)</math>. מרחב הקואורדינטות של התמונה הינו <math>[ImT]_F=\{[Tv]_F:v\in V\}=\{[Tv]_F=[T]^E_F[v]_E:[v]_E\in\mathbb{F}^n\}=C([T]^E_F)</math>

===אלגוריתם למציאת גרעין ותמונה של העתקה לפי המטריצה המייצגת===# מצא מטריצה מייצגת על המטריצות הריבועיות <math>A=[T]\mathbb{F}^E_F{n\times n}</math>נגדיר יחס שקילות באופן הבא:# מצא את מרחבי הקואורדינטות של הגרעין והתמונה <math>N(A)=[kerT]_E,C(\approx B</math> אם קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>A)=[ImT]_FP^{-1}BP</math># '''העבר חזרה''' את מרחבי הקואורדינטות לצורה המקורית (ע"י כפל הסקלרים מהקואורדינטות באיברי הבסיס).

'''תרגילהוכיחו כי זהו אכן יחס שקילות. (6.14)'''

ביהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית תהא <math>T:V\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3to V</math> כך ש ה"ל.ונשתמש בסימון <math>ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\}approx</math> וגם כיחס ההצמדה על המטריצות <math>Im(T)=span\mathbb{F}^{(1,2,3)n\times n}</math> שהגדרנו לעיל.

'''פתרון.''' א. פה אין דרישות רבות לתרגיל, רק דורשים תמונה מסוימת. אם כן, נשלח כל וקטור במרחב לצירוף לינארי של הוקטורים הנתונים, ונדאג לעבור על כל הצירופים האפשריים. <math>T(x,y,z,w)=x(2,4,5,7)+y(1,2,1,1)</math>. קל לראות שהתמונה היא בדיוק כפי שנדרש ע"י הכלה דו כיוונית. ב. נשלים את הוקטורים הנתונים לבסיס ע"י הוקטור <math>(0,0,1)</math>. נסמן <math>w_1=w_2=0</math> ונסמן <math>w_3=(1,2,3)</math>. נמצא את העתקה במפורש לפי האלגוריתם. ברור שהקבוצה הדרושה מוכלת בגרעין, משיקולי מימד היא שווה לו (כי התמונה ממימד אחד לפחות).   '''תרגיל. (6.16)''' תהי <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3</math> העתקה לינארית המוגדרת על ידי <math>T(x,y,z)=(x+y,y+z,2x-2z)</math> א. מצא בסיס לגרעין ולתמונה של T ב. מצא בסיס סדור E ל<math>\mathbb{R}^3</math> כך ש <math>[T]^E_E=_B \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}</math> '''פתרון.''' א. נמצא מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי. נראה מה התמונה של איברי הבסיס:  <math>T(1,0,0)=(1,0,2)</math> <math>T(0,1,0)=(1,1,0)</math> <math>T(0,0,1)=(0,1,-2)</math> ולכן <math>approx [T]=[T]^S_S=\begin_{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2\end{pmatrixB'}</math> מעל הבסיס הסטנדרטי, מרחב הקואורדינטות של תת מרחב U הוא U בעצמו. ולכן גרעין ההעתקה הינו <math>N([T])</math> ותמונת ההעתקה הינה <math>C([A])</math>. יוצא ש <math>kerT=span\{(1,-1,1)\}</math> ויוצא <math>ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\}</math> ב. במקרה שלנו, יצא ש <math>kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3</math>. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.  כמו כן, נביט בקואורדינטות של עבור כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.  '''תרגיל.'''יהיו <math>V=\mathbb{Z}_2^3</math> ו<math>W=P(\{1,2,3\}בסיסים </math> מ"ו מעל השדה <math>\mathbb{Z}_2</math>. (זכרו כי החיבור הוקטורי בקבוצת החזקה הינו הפרש סימטרי). תהי העתקה לינארית המוגדרת לפי משפט ההגדרה על ידי  <math>T(1B,1,0)=\{2,3\}</math> <math>T(0,1,1)=\{1,3\}</math> <math>T(0,0,1)=\{1,2\}</math> מצא את הגרעין ואת התמונה של ההעתקה. B'''פתרון.''' שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו זקוקים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצה החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו <math>S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}</math>. נגדיר בסיס <math>E=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}</math>.

לכן המטריצה המייצגת הינה: 2. אם <math>[T]^E_{S_P}=_B \beginapprox A</math> עבור <math>B </math> בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס <math>B'</math> כך ש <math>[T]_{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrixB'}=A</math>

נמצא כלומר אם נייצג את הגרעין. <math>[kerT]_E=N([T]^E_{S_P})=span\{(1,1,1)\}</math>. אלו הקואורדינטות של הבסיס, ולכן הבסיס הוא הצירופים הלינאריים של איברי E עם הקואורדינטות הנע"ל כלומר י 2 בסיסים נקבל מטריצות צמודות ומאידך גיסא אם יש מטריצה <math>kerT = span\{(1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0)\}A</math> הצמודה לאיזה שהוא מטריצה מייצגת של <math>T</math> אז גם המטריצה <math>A</math> מייצגת את <math>T</math>. קל מאד לראות שהגרעין '''שונה''' ממרחב הקואורדינטות שלו.

נמצא את התמונה1. מתקיים בגלל השיוויון <math>[ImTT]_^B_B=[I]^{S_PB'}=C(_B[T]^E_{S_PB'})=span\_{(0,1,1),(1,0,1)\B'}[I]^B_{B'}</math> ומתקיים כי <math>[I]^{B'}_B</math> הופכית של <math>[I]^B_{B'}</math>.

הגדרה:יהא <math>v=(0\cdot\{1\})\Delta (1\cdot\{2\}) \Delta (1\cdot\{3\})=\{2,3V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>. תהא <math>T:V\}to V</math>ה"ל.

באופן דומה הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים <math>(1B,0,1)B'</math> תואם למתקיים כי <math>\trace([T]_{1,3\B'})=trace([T]_B)</math>.

לסיכום המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות <math>ImT=span\Big\{\{2A,3\},\{1,3\}\Big\}B</math> מתקיים כי <math>tr(AB)=\Big\{\{\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2\}\Big\}tr(BA)</math> וזו התמונה של ההעתקה.