שינויים

'''הערה1הערה''' : המטריצה <math>[T]^E_F</math> היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה

   === דוגמא === דוגמא: <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math> E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math> ה"ל בעזרת משפט ההגדרה<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>. מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>  '''פתרון:''' <math>T(1)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>  <math>T(x)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  <math>T(x^{2})=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  ולכן, בסך הכל נקבל<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)</math> '''הערה :''' שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי) === תרגיל (6.12)=== תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> '''פתרון.''' בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>. עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן <math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math> <math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math> ביחד קיבלנו 4 משוואות: <math>a=-a \Rightarrow a=0</math> <math>-b=-b</math> <math>c=2a+c=c</math> <math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math> לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל. לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b. ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים. === תרגיל ===יהיו <math>V_1, V_2, V_3</math> מרחבים וקטורים עם בסיסים <math>B_1, B_2, B_3</math>בהתאמה.

ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי  <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}=[S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> ==== מסקנה ====יהי <math>V</math> מ"ו, יהיו <math>B,B'</math> שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר <math>[I]_B^{B'}</math> הפיכה ומתקיים <math>([I]_B^{B'הערה3})^{-1} =[I]_{B'}^{B} </math> (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך") הוכחה:ישירות מתרגיל הקודם, <math>[I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים }^{B} =[I]_{B}^{B} =I </math>Tv_1 ===תרגיל===יהי <math>V</math> מ"ו,<math>B,C</math> בסיסים, <math>T:V\to V</math> הע"ל.הוכיחו או הפריכו: <math>([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B</math>. ====פתרון====ממש לא.ראשית,Tv_nמי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math> ונשים אותם , ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B</math>. === תרגיל ===<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math>E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math>ה"ל באופן נאיבי בעמודות הבא (בעזרת משפט ההגדרה)<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>.מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>  '''פתרון:''' <math>T(-1)=\left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)</math>  <math>T(2+x)=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן <math>[T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right)</math>  <math>T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\3\end{array}\right)</math> ולכן, בסופו של דבר,<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\-1 & 2 & 3\end{array}\right)</math> ==== דרך פתרון נוספת ====לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות <math>[I]_F^S,[T]_S^E</math>, כאשר <math>S</math> הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל <math> [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E</math>. המטריצה <math>[T]_S^E</math> קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי <math>S</math> זה קל <math>[T]_S^E = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math> כעת בשביל לחשב את <math>[I]_F^S</math> יש לחשב את ההופכית של <math>[I]_S^F =\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{pmatrix}</math> שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..) <math>[I]_F^S =\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix} </math> נכפיל את המטריצות ואכן נקבל  <math> [T]_F^E_SE= [I]_F^S [T]_S^E = \begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\-1 & 2 & 3\end{pmatrix}</math>  === תרגיל חשוב!===תהא <math>T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי<math>T\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\right\}</math> ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה<math>[T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 5 & 6 & 7\\0 & 0 & 8 & x\\0 & 0 & 4 & x\end{array}\right)</math>(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>.  *קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>[T^{10}]_{S}^{S}</math> הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי). *הוכיחו שקיים בסיס <math>D</math> ל <math>\mathbb{R}^{2\times2}</math> כך המטריצה המייצגת מהצורה<math>[T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc}0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\end{array}\right)</math> ויש בנוסף שורת אפסים === תרגיל חשוב! ===יהא <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}</math> את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>. *מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math> * נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math>. מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>.   ** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)</math> ** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & a\end{array}\right)</math>

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>BE=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.

'''====פתרון.'''====דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB מ <math>B=\{v_1,v_2,v_3\}</math> לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.

כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה <math>(\begin{pmatrix}1 & 0 & -s,t,s,r))1 &1 \\-2 & 1 & 2 & 0 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix}</math> ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא <math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.

* 1. <math>[T]_B \approx [T]_{B'}</math> עבור כל 2 בסיסים <math>B,B'</math>* 2. אם <math>[T]_B \approx A</math> עבור <math>B </math> בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס <math>B'</math>

2.נתון כי קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>P^{-1}[T]_BP = A</math> מהטענה שהוכחנו לעיל קיים בסיס <math>B'</math> כך ש <math>[I]^{B'}_B= P</math> ואז <math>A=P^{-1}[T]_BP = [I]^B_{B'תרגיל.}[T]_B[I]^{B'}_B=[T]^{B'}_{B' נגדיר יחס על המטריצות הריבועיות: }</math>כלומר <math>A נמצאת ביחס עם B (או "A מתייחסת ל-B") אם B הינה המטריצה המייצגת של ההעתקה </math>T_Av:=Avאכן מייצגת את <math>T</math> לפי הבסיס <math>B'</math> ביחס לבסיס כלשהו. הראו שזהו יחס שקילויות, והוכיחו שפונקציית הtrace מוגדרת היטב על חבורת המנה

*סימטריות: נניח B מייצגת את ההעתקה אזי העקבה של A. אזי <math>B=[T_A]^E_ET</math>. כפי שהראינו קודם <math>B=[T_B]^S_S</math> מוגדרת להיות נפתח את שני צידי המשוואה לקבל <math>[T_B]^S_S=[I]^S_E[T_A]^S_S[I]^E_S=[I]^S_EA[I]^E_S</math> ומכאן נובע <math>A=[I]^E_S[T_B]^S_S[I]^S_E</math>  '''טענה:''' כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מקבוצת העמודות שלה, לבסיס הסטנדרטי trace(קל להוכיחT).  לכן נמשיך, נסמן בF את קבוצת העמודות של המטריצה <math>[I]^S_E</math> וסה"כ נקבל <math>A=trace([IT]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[T_B]^F_F_B)</math> כפי שרצינו.   *טרנזיטיביות: נניח כאשר <math>B=[T_A]^E_E</math> וגם בסיס כלשהוא. (או בקיצור <math>C=tr([T_BT]^F_F_B)</math> לכן ביחד  <math>C=[T_B]^F_F=[I]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[I]^S_FB[I]^F_S=[I]^S_F[T_A]^E_E[I]^F_S=</math>  '''טענה:''' יהי בסיס E. אזי כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מבסיס כלשהו לבסיס E. ניקח את הצירופים הלינאריים של איברי E עם הסקלרים מעמודות המטריצה ההפיכה. מכיוון שעמודות המטריצה ההפיכה בת"ל, הקואורדינטות בת"ל ולכן גם הצירופים הלינאריים עצמם בת"ל ולכן מהווים בסיס המקיים את הדרוש.)

נמשיךהערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים <math>B, B'</math>C=[I]^E_G[T_A]^E_Eמתקיים כי <math>trace([IT]^G_E_{B'})=trace([T_AT]^G_G_B)</math> כפי שרצינו.

על מנת להוכיח שפונקצית הtrace מוגדרת היטב יש להראות שהיא שווה על כל שתי המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות שקולות. אבל זה קל כיוון ש <math>tr(A,B)=</math> מתקיים כי <math>tr([I]^S_EA[I]^E_SAB)=tr(A[I]^S_E[I]^E_S)=tr(ABA)</math>