'''הערה1הערה''' : המטריצה <math>[T]^E_F</math> היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה
לכל וקטור <math>v\in V</math> מתקיים ש <math>[T]^E_F[v]_E=[Tv]_F</math>
'''הערה''': שימו לב שמטריצת מעבר <math>[I]_B^{B'}</math> היא מקרה פרטי של מטריצה מייצגת. היא מייצגת את העתקת הזהות (ומכאן הסימון) <math>I:V\to V</math>
כאשר <math>B,B'</math> שני בסיסים של המרחב.
=== דוגמא === דוגמא: <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math> E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math> ה"ל בעזרת משפט ההגדרה<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>. מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math> '''פתרון:''' <math>T(1)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math> <math>T(x)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math> <math>T(x^{2})=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math> ולכן, בסך הכל נקבל<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)</math> '''הערה :''' שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי) === תרגיל (6.12)=== תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> '''פתרון.''' בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>. עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן <math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math> <math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math> ביחד קיבלנו 4 משוואות: <math>a=-a \Rightarrow a=0</math> <math>-b=-b</math> <math>c=2a+c=c</math> <math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math> לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל. לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b. ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים. === תרגיל ===יהיו <math>V_1, V_2, V_3</math> מרחבים וקטורים עם בסיסים <math>B_1, B_2, B_3</math>בהתאמה.
יהיו <math>T:V_1\to V_2 S:V_2\to V_3</math> שתי ה"ל אזי מתקיים
<math>[S\circ T]^{B_1}_{B_3}=[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}</math>
'''הוכחה''' מ"ל כי לכל <math>v\in V_1 </math> מתקיים <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה)
ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}=[S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> ==== מסקנה ====יהי <math>V</math> מ"ו, יהיו <math>B,B'</math> שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר <math>[I]_B^{B'}</math> הפיכה ומתקיים <math>([I]_B^{B'הערה3})^{-1} =[I]_{B'}^{B} </math> (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך") הוכחה:ישירות מתרגיל הקודם, <math>[I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים }^{B} =[I]_{B}^{B} =I </math>Tv_1 ===תרגיל===יהי <math>V</math> מ"ו,<math>B,C</math> בסיסים, <math>T:V\to V</math> הע"ל.הוכיחו או הפריכו: <math>([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B</math>. ====פתרון====ממש לא.ראשית,Tv_nמי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math> ונשים אותם , ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B</math>. === תרגיל ===<math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math>E=\{-1,2+x,3+x+x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math>ה"ל באופן נאיבי בעמודות הבא (בעזרת משפט ההגדרה)<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>.מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math> '''פתרון:''' <math>T(-1)=\left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(-1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)</math> <math>T(2+x)=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן <math>[T(2+x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\2\end{array}\right)</math> <math>T(3+x+x^{2})=\left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)=-1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(3+x+x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\3\end{array}\right)</math> ולכן, בסופו של דבר,<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\-1 & 2 & 3\end{array}\right)</math> ==== דרך פתרון נוספת ====לא תמיד קל להביע וקטור כצ"ל של האחרים (בתרגיל הזה זה פשוט נתון..). הנה עוד דרך, נמצא את המטריצות <math>[I]_F^S,[T]_S^E</math>, כאשר <math>S</math> הוא בסיס סטנדרטי (שימו לב שיש פה שניים) ואז נכפול בניהם, ולפי הערה ממקודם נקבל <math> [I]_F^S \cdot [T]_S^E = [T]_F^E</math>. המטריצה <math>[T]_S^E</math> קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי <math>S</math> זה קל <math>[T]_S^E = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math> כעת בשביל לחשב את <math>[I]_F^S</math> יש לחשב את ההופכית של <math>[I]_S^F =\begin{pmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{pmatrix}</math> שהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך..) <math>[I]_F^S =\begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix} </math> נכפיל את המטריצות ואכן נקבל <math> [T]_F^E_SE= [I]_F^S [T]_S^E = \begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\-1 & 2 & 3\end{pmatrix}</math> === תרגיל חשוב!===תהא <math>T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי<math>T\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\right\}</math> ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה<math>[T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 5 & 6 & 7\\0 & 0 & 8 & x\\0 & 0 & 4 & x\end{array}\right)</math>(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>. *קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>[T^{10}]_{S}^{S}</math> הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי). *הוכיחו שקיים בסיס <math>D</math> ל <math>\mathbb{R}^{2\times2}</math> כך המטריצה המייצגת מהצורה<math>[T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc}0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\\0 & * & * & *\end{array}\right)</math> ויש בנוסף שורת אפסים === תרגיל חשוב! ===יהא <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}</math> את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>. *מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math> * נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math>. מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>. ** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)</math> ** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & a\end{array}\right)</math>
===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===
הנה אלגוריתם שמכליל את הדוגמא הקודמת.
יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:
===אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד===
תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>BE=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.
#נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את <math>[T]^E_S</math>.
'''====פתרון.'''====דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB מ <math>B=\{v_1,v_2,v_3\}</math> לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות
<math>[T]^B_S =\begin{pmatrix}
</math>
כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.
כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה <math>(\begin{pmatrix}1 & 0 & -s,t,s,r))1 &1 \\-2 & 1 & 2 & 0 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix}</math> ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא <math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.
<math>T(-a,b,a,d)=b+d +(b+d)x + \frac{1}{3}(a+b+d)x^2+ \frac{1}{3}(a+b+d)x^3</math>
'''תרגיל. (6.12)'''
תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
'''פתרון.'''
בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>.
עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן
<math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math>
<math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math>
ביחד קיבלנו 4 משוואות:
<math>a=-a \Rightarrow a=0</math>
<math>-b=-b</math>
<math>c=2a+c=c</math>
<math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math>
לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל.
לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.
ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.
===מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה===
מתקיים כי
1. <math>[T]_B \approx [T]_{B'}</math> עבור כל 2 בסיסים <math>B,B'</math>
2. אם <math>[T]_B \approx A</math> עבור <math>B </math> בסיס כל שהוא אזי קיים בסיס <math>B'</math>
כך ש <math>[T]_{B'}=A</math>
2. נתון כי קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>P^{-1}[T]_BP = A</math> מהטענה שהוכחנו לעיל קיים בסיס <math>B'</math> כך ש <math>[I]^{B'}_B= P</math> ואז <math>A=P^{-1}[T]_BP = [I]^B_{B'}[T]_B[I]^{B'}_B=[T]^{B'}_{B'}</math>
כלומר <math>A</math> אכן מייצגת את <math>T</math> לפי הבסיס <math>B'</math>.
הגדרה:
יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>. תהא <math>T:V\to V</math> ה"ל.
אזי העקבה של <math>T</math> מוגדרת להיות <math>trace(T)=trace([T]_B)</math> כאשר <math>B</math> בסיס כלשהוא.(או בקיצור <math>tr([T]_B)</math>)
הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים <math>B,B'</math>
מתקיים כי <math>trace([T]_{B'})=trace([T]_B)</math>.
למה? לפי הטענה המרכזית קיימת <math>P</math> הפיכה כך ש <math>[T]_B=PֶP^{-1}[T]_{B'}P</math>ואז מתקיים <math>tracetr([T]_B)=tracetr(PֶP^{-1}[T]_{B'}P)=tracetr(PPֶPP^{-1}[T]_{B'})=tracetr([T]_{B'})</math>
המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות <math>A,B</math> מתקיים כי <math>tr(AB)=tr(BA)</math>