שינויים

'''הערה1הערה''' : המטריצה <math>[T]^E_F</math> היא המטריצה היחידה המקיימת את הטענה הבאה

   === דוגמא === דוגמא: <math>V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2}</math>. ויהיו<math> E=\{1,x,x^{2}\},F=\{\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\}</math>בסיסים בהתאמה נגדיר <math>T:V\to W</math> ה"ל בעזרת משפט ההגדרה<math>T(a+bx+cx^{2})=\left(\begin{array}{c}b+c\\a\end{array}\right)</math>. מצא את <math>[T]_{F}^{E}</math>  '''פתרון:''' <math>T(1)=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+(1)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(1)]_{F}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>  <math>T(x)=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x)]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  <math>T(x^{2})=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)</math>ולכן<math>[T(x^{2})]_{F}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)</math>  ולכן, בסך הכל נקבל<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)</math> '''הערה :''' שימו לב, כפי שראינו בתרגיל זה, שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי) === תרגיל (6.12)=== תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> '''פתרון.''' בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>. עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן <math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math> <math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math> ביחד קיבלנו 4 משוואות: <math>a=-a \Rightarrow a=0</math> <math>-b=-b</math> <math>c=2a+c=c</math> <math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math> לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל. לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b. ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים. === תרגיל ===יהיו <math>V_1, V_2, V_3</math> מרחבים וקטורים עם בסיסים <math>B_1, B_2, B_3</math>בהתאמה.

'''הוכחה''' מ"ל כי לכל <math>v\in V_1 </math> מתקיים <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} =[(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> (כי המטריצה המייצגת היא היחידה המקיימת את התנאי הזה) ואכן, לפי הגדרת מטריצה מייצגת נקבל כי  <math>[S]^{B_2}_{B_3}\cdot[T]^{B_1}_{B_2}[v]_{B_1} = [S]^{B_2}_{B_3}\cdot [Tv]_{B_2}= דוגמא [S(T(v))]_{B_3} = [(S\circ T)(v)]_{B_3} </math> ==== מסקנה ====יהי <math>V</math> מ"ו, יהיו <math>B,B'</math> שני בסיסים שלו. אזי מטריצת המעבר <math>[I]_B^{B'}</math> הפיכה ומתקיים <math>([I]_B^{B'})^{-1} =[I]_{B'}^{B} </math> (כלומר ההופכית היא מטריצת המעבר "בכיוון ההפוך") הוכחה: ישירות מתרגיל הקודם, <math>[I]_B^{B'}\cdot [I]_{B'}^{B} =[I]_{B}^{B} =I </math> ===תרגיל===יהי <math>V</math> מ"ו, <math>B,C</math> בסיסים, <math>T:V\to V</math> הע"ל. הוכיחו או הפריכו: <math>([T]_B^C)^{-1}=[T]_C^B</math>. ====פתרון====ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math>, ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=[T^2v]_B</math>. === תרגיל ===

<math>[T]_{F}^{E}=\left(\begin{array}{ccc}

'''הערה3:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים המטריצה <math>Tv_1,...,Tv_n[T]_S^E</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל קלה לחישוב כי חישוב של צ"ל לפי <math>[T]^E_SS</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)זה קל

<math>[T]_S^E === תרגיל (6.12)===\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math>

תהי כעת בשביל לחשב את <math>T:\mathbb{R}[I]_F^2\rightarrow \mathbb{R}^2S</math> העתקה יש לחשב את ההופכית של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[TI]_B_S^F =\begin{pmatrix} -1 & 2 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

'''פתרוןשהיא (זה מטריצה אלמנטרית ולכן קל להפוך.'''.)

בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1[I]_F^S =(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,\begin{pmatrix}1 & -b)</math> 1 וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>.\\0 & 1 \end{pmatrix}

<math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math>

<math>-b=-b</math>

<math>c=2a+c=c\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\-1 & 2 & 3\end{pmatrix}</math>

=== תרגיל חשוב!===תהא <math>-d = 2b+d T:\Rightarrow dmathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי<math>T\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}1 & 1\\0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\right\}</math> ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה<math>[T]_{C}^{B}=-b\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 5 & 6 & 7\\0 & 0 & 8 & x\\0 & 0 & 4 & x\end{array}\right)</math>(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>.

לכן, עלינו לבחור *קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>b,c,d[T^{10}]_{S}^{S}</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>הם בודאות ששוים לאפס .(a,bכאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי),(c,d)</math> בת"ל.

ניקח ויש בנוסף שורת אפסים === תרגיל חשוב! ===יהא <math>(0V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1)+x+x^{2},(2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,-x,x^{2}\right\}</math> את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>. *מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math> * נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>.   ** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>וגם<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right)</math> ** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & a\end{array}\right)</math>

תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>BE=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו.

'''====פתרון.'''====דבר ראשון נמצא את המטריצה המייצגת מB מ <math>B=\{v_1,v_2,v_3\}</math> לבסיס הסטדנרטי של הפולינומים S. נשים את התמונות בעמודות

כעת נמצא את מטריצת המעבר. שימו לב שאנו עוסקים במקרה מיוחד. המרחב שלנו אינו מרחב מוכר, ואנו צריכים למצוא לו בסיס סטנרטי על מנת לקחת את הקואורדינטות של איברי הבסיס הנתון לפי אותו בסיס סטנדרטי שנמציא. נדרג מטריצה ששורתיה עם הוקטורים הנ"ל. כיוון שמרחב השורות לא משתנה נקבל בסיס אחר יותר נח.

כל הוקטורים בV הינם צירופים לינאריים של הבסיס הנתון. ניקח צירוף לינארי כללי ונראה בקלות שהוא מהצורה <math>(\begin{pmatrix}1 & 0 & -s,t,s,r))1 &1 \\-2 & 1 & 2 & 0 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &-1 & 0 &1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &1 \\0 & 1 & 0 & 2 \\0 &0 & 0 &3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 &0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix}</math> ולכן בסיס סטנדרטי שקל להוציא את הקואורדינטות לפיו יהיה אלטרנטיבי למרחב שלנו הוא <math>S_V=\{(-1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}</math>. מדוע הוא סטנדרטי? קל מאד לראות שלכל וקטור במרחב <math>[(-x,y,x,z)]_{S_V}=(x,y,z)</math>.