====פתרון====
ממש לא. ראשית, מי אמר שמטריצה שמייצגת העתקה בכלל הפיכה? ושנית, כדאי להבין מה כן נותן הכפל בין המטריצות הללו: לפי הגדרת ההרכבה נקבל: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B=[T^2]_B</math>, ואכן: <math>[T]_B^C\cdot [T]_C^B[v]_B=[T]_B^C[Tv]_C=.[T^2v]_B</math>.
=== תרגיל ===
\end{pmatrix}
</math>
=== תרגיל חשוב!===
תהא <math>T:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbb{R}^{2\times2}</math> המקיימת כי
<math>T\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),T\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)\in\text{span}\left\{ \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right)\right\}</math>
ובנוסף נתונה מטריצה מייצגת שלה
<math>[T]_{C}^{B}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 5 & 6 & 7\\
0 & 0 & 8 & x\\
0 & 0 & 4 & x
\end{array}\right)</math>
(עבור איזה שהן בסיסים <math>B,C</math>) מצאו את <math>x</math>.
*קבעו איזה איברים של השורה האחרונה של <math>[T^{10}]_{S}^{S}</math> הם בודאות ששוים לאפס .(כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי).
*הוכיחו שקיים בסיס <math>D</math> ל <math>\mathbb{R}^{2\times2}</math> כך המטריצה המייצגת מהצורה
<math>[T]_{D}^{D}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *\\
0 & * & * & *
\end{array}\right)</math>
ויש בנוסף שורת אפסים
=== תרגיל חשוב! ===
יהא <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> ושני בסיסים <math>B=\left\{ 2+x,3-x+x^{2},-2+4x-x^{2}\right\} ,C=\left\{ 1+x+x^{2},2+2x,x+2x^{2}\right\}</math> שני בסיסים של <math>V</math>. בנוסף, נסמן <math>S=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}</math> את הבסיס הסטנדרטי של <math>V</math>.
*מצאו את מטריצות המעבר <math>[I]_{C}^{B},[I]_{S}^{B},[I]_{C}^{S}</math> ומצאו את <math>[I]_{B}^{C}</math>
* נגדיר <math>T:V\to V</math> ע"י הכלל <math>T(p(x))=p(x+1)</math>. מצאו את המטריצה <math>[T]_{C}^{B},[T]_{C}^{C}</math>.
** הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש <math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
וגם<math>
[T\circ\hat{T}]_{B}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
</math>
**הוכיחו/הפריכו: קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש
<math>[\hat{T}\circ T]_{B}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)</math>
וגם
<math>[T\circ\hat{T}]_{S}^{C} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)</math>
** מצאו לאילו ערכי <math>a</math> קיימת <math>\hat{T}:\mathbb{R}_{2}[x]\to\mathbb{R}_{2}[x]</math> כך ש
<math>[\hat{T}\circ T]_{C}^{B} =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & a
\end{array}\right)</math>
===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===