'''הערה3:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math> (כאשר S הוא הבסיס הסטנדרטי)
=== תרגיל (6.12)===
תהי <math>T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2</math> העתקה של שיקוף ביחס לציר x. מצא בסיס סדור B ל <math>\mathbb{R}^2</math> עבורו <math>[T]_B=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
'''פתרון.'''
בסיס סדור יכיל שני וקטורים <math>v_1=(a,b),v_2=(c,d)</math>. לפי הנתונים <math>T(a,b)=(a,-b)</math> וגם <math>T(c,d)=(c,-d)</math>.
עמודות המטריצה המייצגת הינן הקואורדינטות של התמונות של איברי הבסיס, לפי הבסיס. לכן
<math>(a,-b)=T(a,b)=(-1)\cdot (a,b) + 0 \cdot (c,d)</math>
<math>(c,-d)=T(c,d)=2\cdot (a,b) + 1 \cdot (c,d)</math>
ביחד קיבלנו 4 משוואות:
<math>a=-a \Rightarrow a=0</math>
<math>-b=-b</math>
<math>c=2a+c=c</math>
<math>-d = 2b+d \Rightarrow d=-b</math>
לכן, עלינו לבחור <math>b,c,d</math> שיקיימו את המשוואות לעיל '''וגם''' יתקיים שהוקטורים <math>(a,b),(c,d)</math> בת"ל.
לכן b אינו אפס, וגם c אינו אפס. d חייב להיות -b.
ניקח <math>(0,1),(1,-1)</math> ואכן תנאי השאלה מתקיימים.
===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את ההעתקה בין בסיסים כלשהם===