א. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4</math> כך שמתקיים <math>Im(T)=span\{(2,4,5,7),(1,2,1,1)\}</math>
דרך נוספת לפתרון: ניתן להגדיר את T לפי משפט ההגדרה באופן הבא:
:<math>T(1,0,0,0)=(2,4,5,7)</math>
:<math>T(0,1,0,0)=(1,2,1,1)</math>
:<math>T(0,0,1,0)=(0,0,0,0)</math>
:<math>T(0,0,0,1)=(0,0,0,0)</math>
לאחר מכן קל למצוא את המטריצה המייצגת ולהכפיל אותה בווקטור כללי (כך ששתתקבל הצורה המפורשת של ההעתקה)
ב. מצא בצורה מפורשת העתקה לינארית <math>T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3</math> כך ש <math>ker(T)=span\{(1,3,7),(2,5,6)\}</math> וגם <math>Im(T)=span\{(1,2,3)\}</math>
יוצא ש <math>kerT=span\{(1,-1,1)\}</math> ויוצא <math>ImT=span\{(1,0,2),(1,1,0)\}</math>
ב. במקרה שלנו, יצא ש <math>kerT \oplus ImT = \mathbb{R}^3</math>. נגדיר את E להיות בסיס המורכב מאיחוד הבסיסים של הגרעין והתמונה, ונביט המטריצה במטריצה המייצגת את ההעתקה לפי בסיס זה. מכיוון שהוקטור הראשון הוא בסיס לגרעין, התמונה שלו היא אפס וכך גם הקואורדינטות.
כמו כן, נביט בקואורדינטות של כל וקטור התמונה. מכיוון שזהו סכום ישר, יש הצגה יחידה של וקטור בתמונה לפי הבסיס שלנו E. אבל, גם יש לו הצגה יחידה לפי הבסיס לתמונה (שהוא מוכל בE) ולכן הקואורדינטות לפי וקטור הגרעין חייבות להיות אפס, כלומר השורה הראשונה הינה שורת אפסים.
'''פתרון.'''
שוב אנו נתקלים במרחב יחסית חדש ואנו זקוקים צריכים למצוא לו בסיס סנדרטי. הבסיס הסטנדרטי למרחב קבוצה קבוצת החזקה הוא באופן טבעי הנקודונים, שכן כל תת קבוצה הינה הפרש סימטרי של הנקודונים של האיברים שבה. אם כן הבסיס הסטנדרטי הינו <math>S_P=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}</math>. נגדיר בסיס
<math>E=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}</math>.