הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏3)
(←‏2)
 
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 15: שורה 15:
 
תהי מטריצה ריבועית A ויהיו <math>v_1,v_2</math> ו"ע של A עם ע"ע <math>x_1,x_2</math> בהתאמה.
 
תהי מטריצה ריבועית A ויהיו <math>v_1,v_2</math> ו"ע של A עם ע"ע <math>x_1,x_2</math> בהתאמה.
  
−
'''הוכח''': <math>v_1,v_2</math> תלויים לינארית אם"ם <math>x_1=x_2</math>
+
'''הוכח''': אם <math>x_1\neq x_2</math> אזי <math>v_1,v_2</math> בת"ל
  
 
==3==
 
==3==
שורה 28: שורה 28:
  
 
==4==
 
==4==
 +
תהיינה A,B מטריצות דומות
 +
===א===
 +
הוכח כי למטריצות <math>A,A^T</math> אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע
 +
===ב===
 +
הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע
 +
===ג===
 +
יהי פולינום '''כלשהו''' <math>g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n</math>.
 +
 +
 +
הוכח כי המטריצות <math>g(A),g(B)</math> דומות
 +
 +
(תזכורת: <math>g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n</math>)
 +
 +
==5==
 +
===א===
 +
הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.
 +
 +
===ב===
 +
תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות <math>AB,BA</math> אותם ע"ע
 +
 +
'''רמז.''' <math>A(BA)v=(AB)Av</math>

גרסה אחרונה מ־14:38, 25 באוקטובר 2012

1

מצא ע"ע ומרחבים עצמיים של המטריצות הבאות:

א

\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

ב

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

ג

\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{pmatrix}


2

תהי מטריצה ריבועית A ויהיו v_1,v_2 ו"ע של A עם ע"ע x_1,x_2 בהתאמה.

הוכח: אם x_1\neq x_2 אזי v_1,v_2 בת"ל

3

יהי וקטור שורה v=(x_1,...,x_n). מצא את הע"ע והמרחבים העצמיים של המטריצה

A=v^Tv


(כאשר v^T הוא הוקטור v בעמודה)

רמז: מהי הדרגה של המטריצה A? שנית, אתם יכולים לנסות כמה דוגמאות על מנת להבין את הרעיון.

4

תהיינה A,B מטריצות דומות

א

הוכח כי למטריצות A,A^T אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ב

הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ג

יהי פולינום כלשהו g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n.


הוכח כי המטריצות g(A),g(B) דומות

(תזכורת: g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n)

5

א

הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.

ב

תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות AB,BA אותם ע"ע

רמז. A(BA)v=(AB)Av

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-113_לינארית_2_סמסטר_א_תשעג/תרגילים/1&oldid=27297