88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פתרון לתרגיל 1

תוכן עניינים

1

נחשב את הפולינום האופייני ונמצא את השורשים שלו, הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי נחשב את המרחב העצמי המתאים לו.

א

p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-2\end{pmatrix} = (x-1)^2(x-2)

ולכן הערכים העצמיים הינם 1,2

המרחבים העצמיים הינם:

V_1=N(1\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=span\{(1,0,0)\}


V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\}

ב

p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & -1 \\ -1 & x-1 & -1 \\ -1 & -1 & x-1\end{pmatrix} =

\det\begin{pmatrix}0 & -1+(x-1)^2 & -1-(x-1) \\ -1 & x-1 & -1 \\ 0 & -1-(x-1) & x\end{pmatrix}
=

=\det\begin{pmatrix}x^2-2x & -x \\ -x & x\end{pmatrix}=x(x^2-2x)-x^2 = x^2(x-3)

ולכן הע"ע הינם 0,3

המרחבים העצמים הינם

V_0=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{pmatrix}=span\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}

V_3=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}=span\{(1,1,1)\}


ג

2

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים

av_1+bv_2=0

נכפול במטריצה A משמאל לקבל

aAv_1+bAv_2=0

ולכן

ax_1v_1+bx_2v_2=0

כיוון שx_1\neq x_2, בלי הגבלת הכלליות נניח כי x_1\neq 0 ונחלק בו

av_1+b\frac{x_2}{x_1}v_2=0

וביחד עם המשוואה הראשונה av_1+bv_2=0 נקבל

b(\frac{x_2}{x_1}-1)v_2=0

וכיוון שv_2 וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש x_1\neq x_2

\frac{x_2}{x_1}-1\neq 0

וביחד יוצא

b=0

לכן

av_1=0

כיוון ש v_1\neq 0 (כי הוא וקטור עצמי) אזי

a=0


וסה"כ הוקטורים בת"ל.

3

לפי משפט מלינארית 1, rank(AB)\leq rank(A). במקרה זה, כאשר מדובר בוקטור בשורה מתקיים

rank(v^Tv)\leq 1