88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

0

הוכיחו כי לכל בסיס א"ג \{v_1,...,v_n\} ולכל סקלרים \{a_1,...,a_n\} מתקיים כי

הקבוצה \{a_1v_1,...,a_nv_n\} בסיס א"ג אם"ם \forall i:a_i\neq 0

1

תהי A\in\mathbb{C}^{n\times n} המקיימת A=A^*. הוכיחו כי N(A)=N(A^2)

(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)

2

תהי A\in \mathbb{R}^{3\times 3} מטריצה אוניטרית המקיימת |A|=1.

הוכיחו כי (tr(A))^2-tr(A^2)=2tr(A)

(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)

3

יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.

א

יהי B=\{w_1,...,w_k\} בסיס א"נ ל W.

יהיו v_{k+1},...,v_n המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.


לכל k+1\leq i \leq n נסמן:

v'_i=v_i-\pi_W(v_i)


הוכיחו כי \{w_1,...,w_k,v'_{k+1},...,v'_n\} בסיס ל V

ב

הוכיחו את משפט הפירוק הניצב W\oplus W^\perp=V

ג

מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל \pi_W

4

יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי v\in V כך ש v\notin W.

הוכיחו כי לכל w\in W מתקיים ||v-\pi_W(v)||<||v-w||

(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)

5

נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות V=\mathbb{C}^{n\times n} על ידי:

<A,B>:=tr(AB^*)

תהי U\subseteq V מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את U^\perp

6

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{C} ויהי U\subseteq V תת מרחב ממימד k.

הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי \{v_1,...,v_n\} למרחב V מתקיים \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k