88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/9

1

נביט במרחב הפולינומים מדרגה קטנה או שווה ל3 $\mathbb{R}_3[x]$, עם המכפלה הפנימית $<f,g>=\int_{-1}^1f\cdot g dx$.

א

הפעל תהליך גרם-שמידט על הקבוצה הבאה על מנת לקבל בסיס א"נ:

$B=\{1+x,1-x,x^2,1+2x+x^3\}$

ב

נסמן $W=\{1,1+x+x^2\}$ מצא בסיס עבור $W^\perp$

2

הוכיחו/הפריכו את הטענה הבאה:

אם ניקח בסיס מלכסן למטריצה ונבצע עליו אלגוריתם גרם שמידט, נקבל בסיס א"נ מלכסן של המטריצה

3

תהי $0\neq A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ מטריצה המקיימת $R(A)\perp C(A)$. מצא את צורת הז'ורדן של A.

מהי הדרגה של A?

4

יהי V ממ"פ מעל שדה F.

א

נניח $F=\mathbb{R}$. הוכיחו/הפריכו: לכל $u,w\in V$ מתקיים

$||u+w||=||u||+||w||$ אם"ם $u\perp w$

ב

נניח $F=\mathbb{C}$. הוכיחו/הפריכו: לכל $u,w\in V$ מתקיים

$||u+w||=||u||+||w||$ אם"ם $u\perp w$