88-113 לינארית 2 סמסטר ב תשעג/תרגילים/1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

מצא ע"ע ומרחבים עצמיים של המטריצות הבאות:

א

\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

ב

\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

ג

\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{pmatrix}


2

תהי מטריצה ריבועית A ויהיו v_1,v_2 ו"ע של A עם ע"ע x_1,x_2 בהתאמה.

הוכח: אם x_1\neq x_2 אזי v_1,v_2 בת"ל

3

יהי וקטור שורה v=(x_1,...,x_n). מצא את הע"ע והמרחבים העצמיים של המטריצה

A=v^Tv


(כאשר v^T הוא הוקטור v בעמודה)

רמז: מהי הדרגה של המטריצה A? שנית, אתם יכולים לנסות כמה דוגמאות על מנת להבין את הרעיון.

4

תהיינה A,B מטריצות דומות

א

הוכח כי למטריצות A,A^T אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ב

הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

ג

יהי פולינום כלשהו g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n.


הוכח כי המטריצות g(A),g(B) דומות

(תזכורת: g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n)

5

א

הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.

ב

תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות AB,BA אותם ע"ע

רמז. A(BA)v=(AB)Av