88-113 סמסטר א' תשעא/ארכיון 1

שאלה 1.7 בתרגיל 3

קצת קשה להוכיח את השגוי...לא?

זה פשוט עניין של ניסוח. אם אתה מעוננין תתייחס אל זה כ"הסבר מדוע אין למטריצה ערכים עצמיים" והתשובה תהיה אותו דבר. אני כבר יכול לומר לך שמה שמבוקש להוכיח הוא נכון. להבא פרסם שאלות מטה, פשוט לצורך מעקב נוח. בברכה, גל א.

שאלה 1 סעיף ב'

מה זאת אומרת, ומאפסת את הפולינום המתקבל כאשר מציבים $\alpha I\in R^{3\times 3}$ במקום הסקלר $\alpha$. בהתחלה בכלל מבקשים למצוא את $\left| A-\gimel I\right|$. מה צריך לעשות? תודה מראש.

תשובה: ראה"שאלה 1ב. (תרגיל 2)" בהמשך

להבא, להוסיף שאלה חדשה בסוף ולא בהתחלה

תרגיל 1.1

אפשר עזרה בהוכחה בבקשה? ישבתי על זה כשעה ולא הגעתי להישגים. אשמח להדרכה. תודה!

עדי: ראשית, שים לב שהפונ' היא מקב' סופית לעצמה, כך שגם מבחינה הגיונית זה מתבקש (מאוד חשוב ש"נאמין" בתכונה לפני שנתאמץ להוכיחה). הנח שהאחת מתקיימת והשניה לא והגע לסתירה. לדוג' f חח"ע. נניח שאיננה על אזי קיים איבר בטווח ללא מקור אזי.. ולהיפך בכיוון השני

תרגיל 1.12

האם כדי להוכיח את המבוקש, אפשר להגיד שכל תמורה אפשר להפוך לצורה של מכפלת חילופים, וכל חילוף הוא היפוך סדר, ואז להגיד את מה שכתוב ברמז ולסיים את ההוכחה? או שצריך להוכיח את אחד מהשלבים שאמרתי או את הרמז? או שבכלל יש לי בעיה אחרת בהוכחה? תודה רבה!!

עדי: הדרך שלך תתקבל

תרגיל 1.3

האם הכוונה בתרגיל 1.3 ב"שלוש ההצגות האפשריות" היא: 1. הצגה רגילה, 2. פירוק לחילופים, 3. פירוק למחזורים או שיש עוד הצגה שצריך להציג באמצעותה את כל אחת מהתמורות? תודה רבה, גל.

עדי: אלו 3 הדרכים

גל א. 15:52, 15 באוקטובר 2010 (IST)

כמדומני שהכוונה לשלוש ההצגות המתוארות באותו עמוד למעלה (א,ב,ג), ובדוגמא. --ארז שיינר 15:58, 15 באוקטובר 2010 (IST)

אוקי, תודה.

פירוק לחילופים

מסתבר שלא הבנתי את ההסבר שהיה בתירגול לגבי פירוק לחילופים. אפשר בבקשה לקבל הסבר, עם דוגמה או שתיים? תודה מראש.

מצטרף לבקשה... נשמח לכמה הבהרות בנושא...

תשובה

חילוף הינה תמורה שמחליפה שני איברים בלבד, ואת השאר משאירה במקום. תמורה באופן כללי לוקחת n חפצים מסודרים ומשנה את הסדר שלהם. פירוק תמורה לחילופים היא דרך להגיע לאותו שינוי סדר, אבל על ידי החלפת זוגות בלבד.

לדוגמא, נסתכל על התמורה $(1 3 2)$:

3 2 1

2 1 3

איך ניתן להגיע מהשורה הראשונה (המסודרת) לשורה השנייה באמצעות חילופים בלבד? נעשה זאת:

3 2 1

נחליף את הראשון והשלישי

1 2 3

נחליף את השני והשלישי

2 1 3

סיימנו. לכן ניתן היה לפרק את התמורה לשני החילופים $(1 3 2)=(2 3)\circ (1 3)$ --ארז שיינר 13:06, 19 באוקטובר 2010 (IST)

תודה! לפי מה שכתבת, קוראים את ההרכבה משמאל לימין. אבל זה לא אמור להיות מימין לשמאל?

תרגיל 1.12

אפשר להוכיח את התרגיל בדרך אחרת מהרמז? (כי הצלחתי בדרך אחרת יותר מובנת לי)

1.12

האם ניתן להסתמך על כך ש- $signT*signO=Sign(T*O)$ ?

שאלה 1.4

בשאלה 1.4 א', האם זה בסדר להוכיח ש$TG$ היא חח"ע ועל ולכן היא תמורה (ע"פ ההגדרה)?

אני לא מתרגלת, אבל לדעתי ככה מוכיחים. אתה מכיר דרך אחרת? רק אל תשכח לכתוב שהיא הולכת מקבוצה סופית לאותה הקבוצה הסופית.

אני עשיתי כך (כמדומני הוכחנו טענה זו באחת מההרצאות במתמטיקה בדידה). אפשר גם להוכיח ע"י היותה של ההרכבה הפיכה מימין ומשאל (כי הרי התמורות מהן היא המורכבת הן הפיכות מימין ומשמאל), אבל אז זה יסתמך על סעיף ב... גל א.

שאלה 1ב. (תרגיל 2)

לא הבנתי את השאלה. מה זה ה Iג הזה? מה זה אומר "הוכח שהיא מאפסת את הפולינום המתקבל"? איזה פולינום? איזה מאפסת? ומה זה אומר להציב aI במקום a? תודה.

תשובה: ג זה משתנה (זו אות יוונית בשם למדה). מבקשים לחשב את הדטרמיננטה של: A פחות מטריצת אפסים שלמדה באלכסונה (כמו הזהות רק למדה באלכסון במקום 1). היות ולמדה היא משתנה התוצאה שתתקבל תהיה פולינום. אח"כ, מבקשים להציב את A בפולינום הנ"ל ולהראות שהוא מתאפס כאשר הצבת מטריצה בפולינום מחייבת את הפיכת האיבר החופשי בו למטריצה הסקלרית מאותו ערך- כלומר, אם האיבר החופשי בפולינום הוא אלפא אז כשנציב בו מטריצה נתייחס לאלפא כמטריצה הסקלרית שאלפא באלכסונה (כמו הזהות רק אלפא באלכסון במקום 1). עדי

תודה!

שאלות מתרגול 2

שלום רב. יש לי שתי שאלות לגבי תרגול 2:

1. בשאלה 2ב מה כוונתכם בהזז את המישור ביחס לקודקוד $v_1$? כלומר להניח ש- $x_1<x_3<x_2$ וגם $y_1<y_2<y_3$?

2. בשאלה 5ב/ג האם עליי להוכיח את הנוסחה לדטרמיננטה כללית שקיבלתי או מספיק שארשום אותה?

תודה מראש! גל א.

לא מתרגלת:

1. לפי מה שהבנתי, הכוונה היא להעתקת הוקטור הזה כך שיהיה הראשית הצירים, והעתקת שאר הוקטורים בהתאם כך שיווצר משולש, ואז אפשר לחשב בקלות - פשוט מציבים בסעיף הקודם את ערכי הוקטורים לאחר ההזזה.

שאלה 5

איך נראות A2n ו An האם An היא כמו A3 רק מתוחה ושA2n היא כמו A4 רק מתוחה?

לא. הגדרתה של An מתחלקת לשניים:

1. n אי זוגי, כלומר נכתוב A2n-1 ונקבל שזו בעצם A3 מתוחה.

2. n זוגי ולכן נקבל שזו A2n שהיא A4 מתוחה.

מקווה שעזרתי, גל א.

בקשה

האם מתרגל (או סטודנט אם חומר מסודר) יכול להעלות את כל הדרכים למציאת דטרמיננטה של מטריצה? פשוט, אם אני זוכר נכון, לימדו יותר משלושה דרכים שונות, ואני לא זוכר מהן היו, ואני לא רוצה לשכוח דרכים חשובות. בנוסף, כשמדרגים מטריצה, איך בסוף מחשבים את הדט' שלה? אם היא משולשית אז מכפלת איברי האלכסון היא הדט'? תודה!

תשובה

הרי כל הדרכים האפשריות (מקווה שלא שכחתי משהו):

1. עפ"י הגדרה של דטרמיננטה - פשוט הצבה לנוסחת הסכום.

1.1. נוסחה לדטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר 2. יהיו איברי הדטרמיננטה: a b c d (כאשר a,b בשורה הראונה והשאר בשורה השנייה) אז הדטרמיננטה היא ad-bc.

2. עפ"י שורה i כלשהי: $|A| = \Sigma_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|$. עבור עמודה j כלשהי פשוט תריץ את ה-i בסכום במקום את ה-j, כלומר: $|A| = \Sigma_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|$

3. דירוג: שים לב לשתי האפשרויות הבאות:

3.1 דירוג למשולשית עליונה ואז להכפיל את איברי האלכסון הראשי ותקבל את הדטרמיננטה (כמובן שיש צורך לבטל את השפעות הפעולות האלמנטירות כמתואר מטה).

3.2 דירוג עד לצורה הבסיסית ביותר - אם תקבל את I אז הרי הדטרמיננטה של המטריצה היא 1*כל השפעות הפעולה האלמנטרית, אם תקבל מטריצה עם שורת/עמודת אפסים הרי שהדטרמיננטה היא אפס.

יש לשים לב שבעשיית דירוג שכזה צריך לשים לב להפעת פעולות השורה האלמנטריות על הדטרמיננטה ולהשפעה שלה, לדוגמה:

• החלפת שורה מכפילה במינוס אחד את הדטרמיננטה.
• הכפלת שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר
• הוספת כפולת שורה לשורה אחרת לא משפיעה על הדטרמיננטה

כמו כן נשים לב שמותר לעשות פעולות עמודה אלמנטריות ואז השפעתן תהיה כמו זו של פעולת השורה המקבילה להן.

4. עפ"י מטריצת בלוקים - ישנן שתי נוסחות מתאימות: הנוסחה שניתנה בהרצאה או עבור השחלוף שלה, את הראשונה ניתן לראות מתחת לשאלה 3ג בתרגול 2, השנייה היא הנוסחה אותה היה צריך להוכיח בתרגיל 3א באותו תרגול.

מקווה שעזרתי, גל א.

תודה רבה, אתה לא מבין כמה עזרת לי!