הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(מבחן לוגריתמי)
שורה 1: שורה 1:
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים|חזרה לטורים]]
 
  
  
 
==טורים חיוביים==
 
==טורים חיוביים==
 
+
טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math> , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:
+
:<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0</math>
 
+
::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0</math>
+
 
+
  
 
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
 
על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.
  
 
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]].
 
למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|הדוגמאות האלו]].
 
  
 
===מבחן ההשוואה הראשון===  
 
===מבחן ההשוואה הראשון===  
יהיו <math>\sum a_n,\sum b_n</math> טורים חיוביים כך ש <math>\forall n:a_n\geq b_n</math>
+
יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\forall n:a_n\ge b_n</math>
  
::אם <math>\sum a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum b_n</math> מתכנס
+
:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.
  
::אם <math>\sum b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum a_n</math> מתבדר
+
:אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
  
הוכחה:
+
;הוכחה.
נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של <math>\sum a_n</math> ב<math>{ A }_{ N }:=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } </math> ובדומה <math>{ B }_{ N }:=\sum _{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } </math>. לפי הנתון הטור <math>\sum a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים M ממשי כך ש<math>{ A }_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } \le M</math>.
+
נסמן את סדרות הסכומים החלקיים
 +
:<math>\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}</math>
 +
לפי הנתון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה  
 +
<math>\displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M</math> עבור <math>M</math> כלשהוא.
  
אבל לכל n מתקיים <math>{ a }_{ n }\ge { b }_{ n }</math>, ולכן
+
אבל <math>\forall n:a_n\ge b_n</math> , ולכן
<math>{ B }_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } =b_{ 1 }+...+b_{ N }\le a_{ 1 }+...+a_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } =A_{ N }\le M</math>, כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\sum b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
+
:<math>\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M</math>
 +
כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.
  
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\rightarrow b\equiv \bar { b } \rightarrow \bar { a } </math>.
+
החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\to b\equiv\bar b\to\bar a</math> .
  
 
===מבחן ההשוואה הגבולי===
 
===מבחן ההשוואה הגבולי===

גרסה מ־07:01, 14 בפברואר 2017

חזרה לטורים


טורים חיוביים

טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה S_{N+1}=S_N+a_{N+1} , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות הדוגמאות האלו.

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n טורים חיוביים כך ש- \forall n:a_n\ge b_n

אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתכנס.
אם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n מתבדר אזי גם \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתבדר.
הוכחה.

נסמן את סדרות הסכומים החלקיים

\displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align}

לפי הנתון \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה \displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M עבור M כלשהוא.

אבל \forall n:a_n\ge b_n , ולכן

\displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M

כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: a\to b\equiv\bar b\to\bar a .

מבחן ההשוואה הגבולי

יהיו \sum a_n,\sum b_n טורים חיוביים כך ש \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}=L אזי


אם L=0:
אם \sum a_n מתכנס אזי גם \sum b_n מתכנס
אם \sum b_n מתבדר אזי גם \sum a_n מתבדר


אם 0\neq L\in\mathbb{R}:
הטורים חברים כלומר מתכנסים או מתבדרים יחדיו (במתמטיקה: \sum a_n מתכנס אם"ם \sum b_n מתכנס)

מבחן דלאמבר/המנה

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} <1 הטור מתכנס
אם \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:

אם \limsup \sqrt[n]{a_n} <1 הטור מתכנס
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} > 1 הטור מתבדר (כולל אינסוף)
אם \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 לא ניתן לדעת (הטורים \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)


שימו לב שבשני המבחנים הקודמים לא מספיק להוכיח כי

\forall n: \frac{a_{n+1}}{a_n}<1 או \forall n: \sqrt[n]{a_n}<1

שכן גבול סדרה שאיבריה קטנים ממש מאחד, עשוי להיות אחד. במקרה והגבול הוא אחד, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.


לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מאחד, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה-n גדול מאחד אזי איברי הסדרה גדולים מאחד ולכן הסדרה אינה שואפת לאפס והטור אינו מתכנס


מבחן העיבוי

תהי a_n סדרה חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס. אזי:


הטור \sum a_n מתכנס אם"ם הטור \sum 2^na_{2^n} מתכנס (הם חברים)


כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.

מבחן ראבה

יהי \sum a_n טור חיובי אזי:


אם \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)>1 הטור מתכנס.
אם \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)<1 הטור מתבדר.
אם \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 לא ניתן לדעת.


מבחן לוגריתמי

יהי \sum a_n טור חיובי. אזי:


אם \lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1 הטור מתכנס.
אם \lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}<1 הטור מתבדר.
אם \lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}=1 לא ניתן לדעת.

הערה: שימו לב כי אם \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1 אז לא בהכרח מתקיים \lim_{n\to\infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}>1; יש סדרות שכל איבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.

דוגמא.

קבע האם הטור \sum\frac{1}{n\ln(n)} מתכנס.


פתרון. כיוון שהסדרה \frac{1}{n\ln(n)} חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

\sum 2^n\frac{1}{2^n\ln(2^n)}


נזכור כי \ln(2^n)=n\ln(2) ולכן


\sum \frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac{1}{n\ln(2)}


אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.


לכן סה"כ הטור מתבדר.


דוגמא.

קבע האם הטור \sum\frac{1}{nln^2(n)} מתכנס.


פתרון. כיוון שהסדרה \frac{1}{nln^2(n)} חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

\sum 2^n\frac{1}{2^nln^2(2^n)}


בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:


\sum \frac{2^n}{2^nln^2(2^n)}=\frac{1}{n^2ln^2(2)}


אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס \sum\frac{1}{n^2}


ולכן סה"כ הטור מתכנס.


דוגמא.

קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור \sum\frac{1}{n^\alpha} מתכנס.


פתרון.

הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:

\sum 2^n \frac{1}{(2^n)^\alpha}=\sum\frac{1}{2^{n(\alpha-1)}}=\sum\Big(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\Big)^n


זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם \frac{1}{2^{\alpha-1}}<1 וזה נכון אם"ם \alpha-1>0 כלומר \alpha>1