הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"

גרסה מ־17:17, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
- 6.1 א
- 6.2 ב
- 6.3 ג

1

L הינו גבול הסדרה $a_n$ אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה $N_\epsilon$ כך שלכל $n>N_\epsilon$ מתקיים $|a_n-L|<\epsilon$

L אינו גבול הסדרה $a_n$ אם קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל מקום N בסדרה קיים $n>N$ כך ש $|a_n-L|\geq\epsilon$

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיוון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר $c>1$ הסדרה מונוטונית עולה, כאשר $c=1$ קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר $0<c<1$ הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן גבולה הוא אחד.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן $\lim a_n=L$ ולכן $\lim a_{n+1}=L$ ולכן:

L^2=L

כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו $c<1$ והסדרה מונוטונית יורדת, $L=\lim a_n\leq c<1$ ולכן הגבול שווה אפס.

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת לאפס לכן שואף לאפס

ב

$\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9$

ג

$L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2}$ ולכן $L=1$

@@ שורה 44: / שורה 44: @@
 ===ב===
 <math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9</math>
+===ג===
+<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2}</math> ולכן <math>L=1</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"

גרסה מ־17:17, 4 בפברואר 2012

תוכן עניינים

1

2

3

4

5

6

א

ב

ג

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים