הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"

גרסה אחרונה מ־05:24, 19 ביוני 2017

תוכן עניינים

1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
- 6.1 א
- 6.2 ב
- 6.3 ג
- 6.4 ד
- 6.5 ה

1

$L$ הנו גבול הסדרה $a_n$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיים מקום בסדרה $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_n-L|<\varepsilon$ .

$L$ אינו גבול הסדרה $a_n$ אם קיים $\varepsilon>0$ כך שלכל מקום $N$ בסדרה קיים $n>N$ כך ש- $|a_n-L|\ge\varepsilon$ .

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר $c>1$ הסדרה מונוטונית עולה, כאשר $c=1$ קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר $0<c<1$ הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע $1$ ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי $0$ ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$ ולכן $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L$ ולכן:

L^2=L

כלומר $L=1$ או $L=0$ . כיון שאנו עוסקים במקרה בו $c<1$ והסדרה מונוטונית יורדת, $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1$ ולכן $L=0$ .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0

ב

$\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9$

ג

$L=\frac{L^2}{2}+\frac12$ ולכן $L=1$

ד

$\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3$

ה

לפי משפט אם הגבול $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L$ קיים, אזי מתקיים $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$ (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
+[[מדיה:11Infi1CSBohan1.pdf|בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב]]
 ==1==
+<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
-L הינו גבול הסדרה <math>a_n</math>אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>
+<math>L</math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .
-L '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' אפסילון גדול מאפס כך ש'''לכל''' מקום N בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_n-L|\geq\epsilon</math>
 ==2==
@@ שורה 13: / שורה 14: @@
 ==4==
+כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
+:<math>a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
+ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.
-כיוון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
+כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה.
-::<math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
+כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
-ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.
+נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
+:<math>L^2=L</math>
+כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .
-כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן גבולה הוא אחד.
+באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.
-כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
-נסמן <math>\lim a_n=L</math> ולכן <math>\lim a_{n+1}=L</math>ולכן:
-::<math>L^2=L</math>
-כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim a_n\leq c<1</math> ולכן הגבול שווה אפס.
-באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד בסתירה.
 ==5==
 משיעורי הבית
@@ שורה 40: / שורה 34: @@
 ===א===
-חסומה כפול שואפת לאפס לכן שואף לאפס
+חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
 ===ב===
-<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9</math>
+<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math>
 ===ג===
-<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2}</math> ולכן <math>L=1</math>
+<math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math>
+===ד===
+<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>
+===ה===
+לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
+לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
+<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"

גרסה אחרונה מ־05:24, 19 ביוני 2017

תוכן עניינים

1

2

3

4

5

6

א

ב

ג

ד

ה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים