הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 3: שורה 3:
  
 
==1==
 
==1==
L הנו גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math> .
+
<math>L</math> הנו גבול הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .
  
L '''אינו''' גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilon</math> .
+
<math>L</math> '''אינו''' גבול הסדרה <math>a_n</math> אם '''קיים''' <math>\varepsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\varepsilon</math> .
  
 
==2==
 
==2==
שורה 24: שורה 24:
 
נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
 
נסמן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
 
:<math>L^2=L</math>
 
:<math>L^2=L</math>
כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>1</math> או <math>0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן הגבול שווה <math>0</math> .
+
כלומר <math>L=1</math> או <math>L=0</math> . כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן <math>L=0</math> .
  
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה.
+
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.
  
 
==5==
 
==5==
שורה 34: שורה 34:
  
 
===א===
 
===א===
חסומה כפול שואפת ל- <math>0</math> לכן שואף ל- <math>0</math>
+
חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0
  
 
===ב===
 
===ב===
<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\to 9</math>
+
<math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9</math>
  
 
===ג===
 
===ג===
שורה 43: שורה 43:
  
 
===ד===
 
===ד===
<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}}}\to e^3</math>
+
<math>\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math>
  
 
===ה===
 
===ה===
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
+
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
  
 
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
 
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
  
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>
+
<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>

גרסה אחרונה מ־05:24, 19 ביוני 2017

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

תוכן עניינים

1

L הנו גבול הסדרה a_n אם לכל \varepsilon>0 קיים מקום בסדרה N כך שלכל n>N מתקיים |a_n-L|<\varepsilon .

L אינו גבול הסדרה a_n אם קיים \varepsilon>0 כך שלכל מקום N בסדרה קיים n>N כך ש- |a_n-L|\ge\varepsilon .

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר c>1 הסדרה מונוטונית עולה, כאשר c=1 קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר 0<c<1 הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי 0 ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן \lim\limits_{n\to\infty}a_n=L ולכן \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L ולכן:

L^2=L

כלומר L=1 או L=0 . כיון שאנו עוסקים במקרה בו c<1 והסדרה מונוטונית יורדת, L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1 ולכן L=0 .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0

ב

\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9

ג

L=\frac{L^2}{2}+\frac12 ולכן L=1

ד

\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3

ה

לפי משפט אם הגבול \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L קיים, אזי מתקיים \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4