שינויים
==4==
כיון שהאיבר שהאבר הראשון חיובי, ושאר האיברים האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן:<math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math>
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_n=L</math> ולכן <math>\lim \limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L</math> ולכן:
:<math>L^2=L</math>
כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>1</math> או <math>0</math>. כיוון כיון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim \limits_{n\to\infty}a_n\le c<1</math> ולכן הגבול שווה <math>0</math>.
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה.
===ד===
<math>\biggleft(1+\frac{3n}{n^2+1}\biggright)^n=\Biggleft(1+\frac1frac{1}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\Biggright)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\Biggleft(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1frac{1}{3n}}\Biggright)^{\Bigleft(\frac{n}{3}+\frac1frac{1}{3n}\Bigright)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1frac{1}{3n}}}}\to e^3</math>
===ה===
לפי משפט אם הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math>
