88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

1

L הינו גבול הסדרה $a_n$אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים מקום בסדרה $N_\epsilon$ כך שלכל $n>N_\epsilon$ מתקיים $|a_n-L|<\epsilon$

L אינו גבול הסדרה $a_n$ אם קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל מקום N בסדרה קיים $n>N$ כך ש $|a_n-L|\geq\epsilon$

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיוון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

$a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}$

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על ידי הזוג הראשון. כאשר $c>1$ הסדרה מונוטונית עולה, כאשר $c=1$ קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר $0<c<1$ הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן גבולה הוא אחד.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן $\lim a_n=L$ ולכן $\lim a_{n+1}=L$ולכן:

$L^2=L$

כלומר L שווה לאחד או אפס. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו $c<1$ והסדרה מונוטונית יורדת, $L=\lim a_n\leq c<1$ ולכן הגבול שווה אפס.

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מאחד בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת לאפס לכן שואף לאפס

ב

$\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\rightarrow 9$

ג

$L=\frac{L^2}{2}+\frac{1}{2}$ ולכן $L=1$

ד

$\Big(1+\frac{3n}{n^2+1}\Big)^n =\Big(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\Big)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}} =\Big(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\Big)^{(\frac{n}{3}+\frac{1}{3n})\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}}} \rightarrow e^3$

ה

לפי משפט אם הגבול $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ קיים, אזי מתקיים ש $\lim\sqrt[n]{a_n}=L$ (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2(n+1))!(n!)^2}{((n+1)!)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\rightarrow 4$