88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

1

L הנו גבול הסדרה $\{a_n\}$ אם לכל $\epsilon>0$ קיים מקום בסדרה $N_\epsilon$ כך שלכל $n>N_\epsilon$ מתקיים $|a_n-L|<\epsilon$ .

L אינו גבול הסדרה $\{a_n\}$ אם קיים $\epsilon>0$ כך שלכל מקום $N$ בסדרה קיים $n>N$ כך ש- $|a_n-L|\ge\epsilon$ .

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

$a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}$

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר $c>1$ הסדרה מונוטונית עולה, כאשר $c=1$ קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר $0<c<1$ הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע $1$ ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי $0$ ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$ ולכן $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L$ ולכן:

$L^2=L$

כלומר $L$ שווה ל- $1$ או $0$ . כיון שאנו עוסקים במקרה בו $c<1$ והסדרה מונוטונית יורדת, $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1$ ולכן הגבול שווה $0$ .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- $1$ בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת ל- $0$ לכן שואף ל- $0$

ב

$\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\to 9$

ג

$L=\frac{L^2}{2}+\frac12$ ולכן $L=1$

ד

$\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac{1}{3n}}}}\to e^3$

ה

לפי משפט אם הגבול $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ קיים, אזי מתקיים ש- $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$ (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4$