הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 3: שורה 3:
  
 
==1==
 
==1==
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
+
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math> הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\to 0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
  
 
+
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
+
  
 
==2==
 
==2==
 
===א===
 
===א===
ברור כי <math>max\{a_n,b_n\}\geq a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
+
ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
  
 
===ב===
 
===ב===
כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
+
כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל- <math>0</math>. לכן
  
<math>\frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0</math>
+
<math>\frac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to 0</math>
  
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_nb_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס בהחלט.
+
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.
  
 
===ג===
 
===ג===
 
הוכחה:
 
הוכחה:
  
כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}{a_n}</math>לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור <math>\sum\frac{1}{a_n}</math> מתבדר.
+
כיון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל- <math>0</math> ולכן הטור <math>\sum\frac1{a_n}</math> מתבדר.
  
 
===ד===
 
===ד===
 
הפרכה:
 
הפרכה:
  
<math>a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}{n}</math> מתבדר
+
<math>a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac1{n}</math> מתבדר.
  
 
==3==
 
==3==
שורה 34: שורה 33:
  
 
===ב===
 
===ב===
 
+
<math>2^n+(-1)^n2^n\le 2\cdot 2^n</math>
<math>2^n+(-1)^n2^n\leq 2\cdot 2^n</math>
+
  
 
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
 
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
  
<math>2\sum (\frac{2}{3})^n</math>
+
<math>2\sum \bigg(\frac23\bigg)^n</math>
 
+
ולכן מתכנס
+
  
 +
ולכן מתכנס.
  
 
===ג===
 
===ג===
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]]
 
  
 
===ד===
 
===ד===
 
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]]
 
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]]
  
שורה 55: שורה 50:
 
נפעיל את מבחן המנה:
 
נפעיל את מבחן המנה:
  
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}</math>
+
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>
  
 
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
 
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
  
 +
<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>
  
<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=
 
  
</math>
+
<math>\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=</math>
  
  
 
+
<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1</math>
<math>
+
\frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=
+
 
+
</math>
+
 
+
 
+
<math>
+
 
+
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2}} <1</math>
+
 
+
  
 
ולכן הטור מתכנס.
 
ולכן הטור מתכנס.
שורה 81: שורה 66:
 
==4==
 
==4==
 
===א===
 
===א===
 
 
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
 
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
  
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''
+
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.
  
 
===ב===
 
===ב===
הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.  
+
הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.
  
 
===ג===
 
===ג===
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math>
+
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\sum\frac1{n^2}</math> .

גרסה מ־22:44, 27 בינואר 2016

בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור \sum a_n הוא התכנסות הסדרה לאפס a_n\to 0 . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי \max\{a_n,b_n\}\ge a_n ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיון שהטור \sum a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל- 0. לכן

\frac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to 0

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור \sum |a_n\cdot b_n| מתכנס, כלומר הטור \sum a_n\cdot b_n מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיון שהטור \sum a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה \frac1{a_n} לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל- 0 ולכן הטור \sum\frac1{a_n} מתבדר.

ד

הפרכה:

a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} מתכנס לפי לייבניץ, אבל a_n^2=\frac1{n} מתבדר.

3

א

פתרון

ב

2^n+(-1)^n2^n\le 2\cdot 2^n

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

2\sum \bigg(\frac23\bigg)^n

ולכן מתכנס.

ג

פתרון

ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=


\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=


\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1

ולכן הטור מתכנס.

4

א

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי.

ב

הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.

ג

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור \sum\frac1{n^2} .