שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]
==1==
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0to0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
==2==
===א===
ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
===ב===
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן
<math>\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0</math>
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.
===ג===
הוכחה:
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.
===ד===
הפרכה:
<math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\dfrac1n</math> מתבדר.
==3==
===א===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7|פתרון]]
===ב===
<math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math>
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
<math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math>
ולכן מתכנס.
===ג===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]]
===ד===
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]]
===ה===
נפעיל את מבחן המנה:
<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
<math>
\begin{align}
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
\end{align}
</math>
ולכן הטור מתכנס.
==4==
===א===
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.
===ב===
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.
===ג===
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .
