הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(2)
 
(8 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
 +
[[מדיה:11Infi1CSBohan2.pdf|בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב]]
 +
 
==1==
 
==1==
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\sum a_n</math>הוא התכנסות הסדרה לאפס <math>a_n\rightarrow 0</math>. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
+
תנאי הכרחי להתכנסות הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא התכנסות הסדרה <math>a_n\to0</math> . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
  
 
+
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
+
  
 
==2==
 
==2==
 
===א===
 
===א===
ברור כי <math>max\{a_n,b_n\}\geq a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
+
ברור כי <math>\max\{a_n,b_n\}\ge a_n</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
  
 
===ב===
 
===ב===
כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
+
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן
  
<math>\frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0</math>
+
<math>\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0</math>
  
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\sum |a_nb_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס בהחלט.
+
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n|</math> מתכנס, כלומר הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n</math> מתכנס בהחלט.
  
 
===ג===
 
===ג===
 
הוכחה:
 
הוכחה:
  
כיוון שהטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\frac{1}{a_n}</math>לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור <math>\sum\frac{1}{a_n}</math> מתבדר.
+
כיון שהטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה <math>\dfrac1{a_n}</math> לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n}</math> מתבדר.
  
 
===ד===
 
===ד===
 
הפרכה:
 
הפרכה:
  
<math>a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\frac{1}{n}</math> מתבדר
+
<math>a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}</math> מתכנס לפי לייבניץ, אבל <math>a_n^2=\dfrac1n</math> מתבדר.
 +
 
 +
==3==
 +
===א===
 +
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7|פתרון]]
 +
 
 +
===ב===
 +
<math>2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n</math>
 +
 
 +
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
 +
 
 +
<math>2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n</math>
 +
 
 +
ולכן מתכנס.
 +
 
 +
===ג===
 +
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/8|פתרון]]
 +
 
 +
===ד===
 +
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4|פתרון]]
 +
 
 +
===ה===
 +
נפעיל את מבחן המנה:
 +
 
 +
<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}</math>
 +
 
 +
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
 +
 
 +
<math>
 +
\begin{align}
 +
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
 +
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 
 +
ולכן הטור מתכנס.
 +
 
 +
==4==
 +
===א===
 +
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
 +
 
 +
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור '''מתכנס בתנאי'''.
 +
 
 +
===ב===
 +
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.
 +
 
 +
===ג===
 +
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}</math> .

גרסה אחרונה מ־05:32, 19 ביוני 2017

בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n הוא התכנסות הסדרה a_n\to0 . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי \max\{a_n,b_n\}\ge a_n ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן

\dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n| מתכנס, כלומר הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיון שהטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה \dfrac1{a_n} לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n} מתבדר.

ד

הפרכה:

a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} מתכנס לפי לייבניץ, אבל a_n^2=\dfrac1n מתבדר.

3

א

פתרון

ב

2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n

ולכן מתכנס.

ג

פתרון

ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:


\begin{align}
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}<1
\end{align}

ולכן הטור מתכנס.

4

א

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי.

ב

הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.

ג

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2} .